本文主要用Cartesian current理论来研究几类特殊集值映射的解析性质,包括结构性质,弱连续性,逼近性质等等,还研究了这些结果在Hessian测度和广义行列式中的应用.第一章是引言部分,主要介绍了 Cartesian current理论的研究背景和研究进展,以及本文将要讨论的问题.然后给出一些预备知识,包括论述过程中涉及的概念以及基本事实,比如关于集值映射,current,rectifiable current以及Cartesian current的基本概念和结果.第二章,研究了值域是一维的集值映射:具有闭凸像的上半连续集值映射.我们首先给出一个利用集值映射对有界变差函数的刻画,并利用上述结果证明了在面积有限的条件下这一类集值映射的rectifiable图像可以生成Cartesian current且可被光滑函数图像逼近.第三章,以Cartesian current理论研究了定义在n-维凸区域上的极大半单调集值映射.我们引入“装配”在极大半单调映射图像上的整数重rectifiable current,并证明其定义的合理性.进一步地研究current的结构性质,关于图像收敛的弱连续性质以及光滑逼近性质.第四章,以Cartesian current理论研究一类特殊的极大半单调映射:半凸函数的次梯度映射.并研究强化版的关于半凸函数的次梯度映射图像生成的Cartesian current的弱连续性质和光滑逼近性质,并得到current的Lagrangian性质和下半连续性质.第五章,研究关于第三,四章结果的应用.一方面给出利用Cartesian current计算半凸函数的Hessian测度的方法;另一方面我们引入关于半单调函数的弱Jacobian和广义行列式,并且研究弱Jacobian的分解性质和全变差,同时也得到了广义行列式的分解性质.第六章,引入了 Besov类函数的广义k-Hessian的定义.特别地,受到Baer和Jerison关于广义Hessian行列式工作的启发,我们证明了在Besov空间B（2-2/k,k）中广义k-Hessian的弱连续性,以及在Besov空间框架下结果的最优性,即广义k-Hessian算子在B（s,p）中有定义当且仅当B（s,p）（?）Bloc（2-2/k,k）.