本文先以一个映射系统为例分析了不动点失稳后发生各类分岔、混沌等动力学行为,然后针对一个两自由度碰撞振动系统重点分析了其周期运动失稳后发生两种不同的倍化分岔导致混沌现象,最后以一个平面两自由度双摆模型为例说明了其运动微分方程及具有周期系数的扰动运动微分方程的建立过程以及稳定性、分岔、混沌和分岔控制等研究方法。本文的研究主要有以下方面：1.从映射系统、碰撞振动系统、周期系数系统三种模型有关稳定性、分岔、混沌、分岔控制等方面的理论研究和工程应用背景出发,综述了部分研究成果、最新发展动态。介绍了论文的研究内容与主要结果。2.研究了一类三维映射系统,考虑了其不动点失稳后可能发生的几类分岔,根据发生不同类型分岔时特征根应满足的特点,确定了系统参数需要满足的条件。以不动点失稳发生Hopf-Flip分岔为例,利用中心流形-范式方法和投影法说明了三维映射研究分岔的过程,计算了相关范式系数,最后通过数值计算验证其结果。结果表明,该映射存在因不动点失稳而发生典型倍周期分岔导致混沌的过程,也存在因Hopf圈多次发生环面倍化而导致混沌的过程。不动点失稳发生Hopf分岔后,可能经历由光滑不变圈—环面倍化—环面破裂—非光滑不变圈的变化过程。满足4阶强共振Hopf分岔条件时不动点失稳后通过4条映射轨道形成吸引不变圈,随着参数的改变不变圈破裂形成4阶Hopf圈,参数进一步改变,可收敛于周期4点。满足非共振Hopf-Flip分岔条件时映射不动点失稳后会形成2个环状或管状混沌吸引子；满足弱共振(λ06=1) Hopf-Flip分岔条件时不动点失稳后会形成周期6点；满足强共振(λ04=1)Hopf-Flip分岔条件时不动点失稳后会形成4个相连或不相连的带状混沌吸引子或周期4点。3.研究了一类碰撞振动系统,理论分析及数值验证了系统除存在典型倍周期分岔外,还存在非典型的倍周期分岔。结果表明系统参数在满足非共振的Hopf分岔(但靠近强共振或弱共振区域)条件下,系统周期1-1运动失稳首先形成拟周期运动(Poincare截面上不动点失稳形成Hopf圈),如果系统参数临近共振区,由于Arnold舌的存在,在n阶强(弱)共振点附近不动点失稳后沿n条映射轨道收敛于Hopf圈,当参数变化且穿越n阶强(弱)共振参数区(Arnold舌)时,Poincare截面上不动点失稳发生次谐分岔而形成稳定周期n点,参数进一步改变则经次谐倍化分岔而形成稳定周期2n点,参数再次改变则再经次谐倍化分岔而形成稳定周期4n点,8n点,16n点,…,混沌状态,最终形成n条分支共存形式的n条倍化分岔导致混沌序列。4.研究了一个平面两自由度双摆力学模型,先根据拉格朗日方程建立了系统的运动微分方程,当端点作给定运动情况下,利用运动过程中的几何边角关系、微分关系将运动微分方程中的微分变量分别用端点的坐标及它们的各阶导数表示,得到系统的周期运动,并推导出非显示形式的扰动运动微分方程。采用渐近逼近法,逐步确定扰动运动微分方程一阶、二阶和三阶近似,最终可以得到扰动运动微分方程的任意阶近似。这样将原系统周期解的稳定性与分岔的分析就转化为对扰动运动微分方程n阶近似的平衡点的稳定性与分岔的分析。对于扰动运动微分方程来讲,其平衡点的稳定性以及失稳后的分岔类型一般是由其前三阶项确定的,即4阶及以上高阶非线性项一般不会在本质上影响分析其局部动力学行为,本文最终推导出扰动微分方程的六阶近似,并且通过数值计算,比较了相同参数下扰动运动微分方程6阶近似和扰动运动微分方程3阶近似在分岔过程上的差异,验证结果表明除运算时间外两者是一致的。5.介绍了线性周期系数微分系统的稳定性与常系数微分系统稳定性的关系,给出稳定性判据。介绍了非线性周期系数系统的稳定性与对应线性周期系数系统的稳定性的关系,给出稳定性判据。将周期系数微分系统经过一系列ti=(i-1)×T→i×T(i1,…,n)积分可以确定n个状态点,其在Poincare截面(σ={(φ10,φ10,φ20,φ20,t)∈R4×s|t=T})上形成的对应关系构成Poincare映射,利用映射分岔条件给出了周期系数微分系统平衡点失稳后可能发生的几种分岔的分岔条件。介绍了周期系数系统发生Hopf分岔的解析分析过程。最后通过调整系统参变量进行数值计算,最终得到Flip分岔、非共振Hopf分岔(λ0n(ε0)≠1,n≠1,2,3,4,…)、强共振(λ3=1、λ2=1)Hopf分岔、Hopf-Flip分岔等行为,从结果来看周期系数系统与常系数微分方程或差分方程有基本类似的分岔行为。给出了两种不同情形的Hopf-F1ip分岔结果：一种情形是平衡点失稳后可形成稳定2阶Hopf圈或高阶周期点,而另一种情形是平衡点一旦失稳后不能稳定于Hopf圈或周期n点。对于强共振(λ2=1)Hopf分岔,是一种特殊情形,在此种情况中,随参数不断变化特征根在临近-1穿越单位圆时,4个负实根突然分解为2个模小于1的负实根和一对复共轭特征根,最终是一对复特征根在很小参数区间穿越单位圆(另2个仍为模小于1的负实根),穿越后为一对-1根(另2根仍为模小于1的负实根),正是由于特征根穿越单位圆周的特殊性,导致分岔结果的特殊性：稳定不动点—周期2焦点—稳定的Hopf圈—周期2结点—周期4结点、8结点、16结点、…、2n点,直至混沌,并得到此种情况倍周期分岔导致混沌相图。6.先介绍了针对常系数系统的分岔行为进行控制的线性法、平移法以及状态反馈和参数调整控制法等三种方法。然后将上述三种控制分岔混沌的方法应用于周期系数系统,对周期系数系统平衡点失稳后发生的倍化分岔、Hopf分岔两种情形的分岔行为进行控制,从数值上验证其可操作性,得到了系统在控制前后的分岔图。对于倍化分岔控制：(1)采用线性法,当选取适当的控制参数,可将周期2点控制到周期1点,或控制到Hopf圈；(2)采用状态反馈和参数调整控制法,当选取适当的控制参数,可将周期2点控制到周期1点,或控制到Hopf圈、混沌状态；(3)平移法未能达到控制分岔的目的。对于Hopf分岔控制：(1)采用线性法,当选取适当的控制参数,可将Hopf圈控制到周期1点,或控制到另一个光滑Hopf圈或变形的Hopf分岔圈；(2)采用状态反馈和参数调整控制法,当选取适当的控制参数,可将Hopf圈控制到周期1点,或控制到另一个光滑Hopf圈、变形的Hopf分岔圈、周期7点或混沌状态；(3)采用平移法未能达到控制分岔的目的。