本文给出了当有限状态Markov链满足非周期不可约等约束条件后,单Markov链情形下的ERDOS-RENYI大数定律。有限状态、不可约非周期是保证了平稳分布是唯一存在的。同已有的两条Markov相匹配的结论相照应,共同构成了一个基本的理论框架,作为链的匹配和比较,由独立到分布相关的延伸。具体的证明过程分别从上界和下界两个角度来分析,主要部分利用了Pattern分析思想和Position分析思想,利用Borel-Cantelli引理等基本思想,得到了本文的主要结论。为了使计算更容易的进行,考虑表达式H(a,[Π])的化简。对有限态不可约、非周期的转移矩阵,就低维转移矩阵情形进行了表达式H(a,[Π])化简,化简时候应用到了大偏差速率函数的相应结论和S anov定理的结论,使得结果能够化简成简单形式,这样的化简增强了理论的可操作性。同时,给出了文献[1]中提出的Markov自身相隔一定位置的相关性问题的一些探讨和结论,得到的初步结论是随着相隔位置的增加,相关系数不一定是单调的,在某些情况下是单调的。二维转移矩阵情形,相关系数的最大取值是在相隔有限位置时达到。实验1和实验2针对用仿真模拟的方法得到的Markov链,应用MATLAB来实现。对该链进行定理应用；发现实验的效果还是比较不错的；实验3是一个实例验证,考虑到了本定理以后的应用层面是生物DNA序列的研究,所以找到了一段mRNA序列,长度2005bp,生物名Mus musculus Max protein (Max), transcript variant 1,mRNA,来自于家鼠,用来合成某种肌肉蛋白。数据来源于美国生物信息网站NCBI。通过实例分析验证,首先认为该段mRNA序列具有Markov’性,然后将定理应用于该段mRNA,得到数据表格,从数据表格可以看出该定理在该段mRNA上的应用结果是比较好的。本文的创新点主要有：·考虑最简单、最基本的分布相关情形——单Markov链情形。·在低维情形化简H(a,[Π]),得到最简形式。就实例mRNA序列进行分析验证,得到比较好的结果。