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常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学以及其他学科的发展密切相关的。在自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等领域都有广泛的应用。这些问题都可以化为求常微分方程的解。然而，大部分的常微分方程求不出其精确解，而只能得到精确程度较高的近似解。 另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，当微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，事实上，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法，微分方程也就成了最有生命力的数学分支。因此，寻找有效的求解这些具有实际背景和理论价值的微分方程的数值方法变得越来越重要了。 本文运用再生核空间数值分析理论与技巧，解决了以下几类线性及非线性微分方程的数值求解问题。 首先，在再生核空间W1[0,1]和W3[0,1]中研究了一类二阶奇异摄动微分方程边值问题的数值求解算法。给出了精确解的级数形式的精确表达式。证明了数值解的计算误差依结点数的增加单调递减，数值算例验证了这个方法的有效性。 其次，在再生核空间W3[0,1]W3[0,1]中运用投影和插值方法研究讨论了二阶奇异微分方程组的数值求解方法。利用再生核表达式得到了一组标准正交基，将方程组的未知函数在这组基上进行Fourier级数展开，构造了严格收敛的迭代序列，从而得到了解的级数形式的表达式，通过级数截断得到方程的数值逼近解，得到了满意的数值结果。 第三，在再生核空间Wp(p=5,7,9)[0,1]中研究了偶高阶奇异微分方程的数值求解问题，首先分别构造了相应的再生核空间W5[0,1]、W7[0,1]和W9[0,1]，定义了其中的内积和范数，利用Gram-Schmidt正交化方法构造了一组满足边值条件的标准正交基，将边值问题的解在这组基上进行Fourier级数展开，给出了四阶、六阶与八阶奇异微分方程边值问题的数值求解方法，并进行了误差估计讨论，得到了满意的数值结果。 最后，在另外一个再生核空间W5[0,1]中研究了一类四阶非线性两点边值问题，采用对非线性项搜极小的处理方法，得到了精确解的级数形式的精确表达式和满意的数值结果。