【摘 要】
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近似计算π的经典的阿基米德方法是利用平面上单位圆内接正多边形和单位圆外切正多边形的周长来估计π.其关键之处在于,随着这些正多边形的边数加倍,它们的周长满足著名的调和平均与几何平均关系式.因此,通过不断迭代,可以获得对π任意精度的估计.相似地,在单位圆周上的顶点随机选取,并且服从独立、均匀分布的情形下,这些随机顶点所生成的圆内接随机多边形或圆外切随机多边形的半周长和面积,当顶点数趋于无穷时,均以概率
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近似计算π的经典的阿基米德方法是利用平面上单位圆内接正多边形和单位圆外切正多边形的周长来估计π.其关键之处在于,随着这些正多边形的边数加倍,它们的周长满足著名的调和平均与几何平均关系式.因此,通过不断迭代,可以获得对π任意精度的估计.相似地,在单位圆周上的顶点随机选取,并且服从独立、均匀分布的情形下,这些随机顶点所生成的圆内接随机多边形或圆外切随机多边形的半周长和面积,当顶点数趋于无穷时,均以概率为1收敛到π,且其分布是渐近正态的.上述结果在顶点非均匀但服从多元对称Dirichlet分布的情形下仍然成立.进一步应用现代外推技术,借助这些随机多边形半周长和面积的线性组合,可以大大减小近似误差.本论文主要研究了多元对称Dirichlet分布下单位圆上的内接随机多边形与π的近似计算问题.利用外推方法,通过单位圆上的内接随机多边形的半周长和面积的线性组合改进了已有的近似估计,同时也研究了多元对称Dirichlet分布下单位圆上的内接随机多边形的边数加倍问题以及基于加倍前后随机多边形半周长和面积的外推改进.然而随机多边形的边数加倍要比正多边形复杂得多,且不同的加倍方式也带来了不一样的近似效果.本论文主要研究了三种加倍方式:独立加倍、均分加倍和随机加倍.当n趋于无穷时,多元对称Dirichlet分布下单位圆上的内接随机n边形和内接随机2n边形的半周长和面积均以概率为1收敛到π,且它们的分布均是渐近正态的.通过建立随机多边形半周长和面积的一些外推估计,有效提高了收敛到π的速度和精度.
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