近年来,拓扑绝缘体是物理领域里面最热的话题之一,理论的研究和实验的实现都经历了迅速的发展。从体性质上看,拓扑绝缘体属于不导电的绝缘体,有带隙的存在,但是其边界上却存在robust的导电边缘态(二维拓扑绝缘体中)和表面态(三维拓扑绝缘体中),预示着体系具有非平庸的拓扑性质。作为一种新的量子物质态,如同量子霍尔态,它不能用朗道的自发破缺理论来描述,需要通过拓扑序的概念来同普通体系区分开来。然而,不同于我们过去已知的用陈数来描述的量子霍尔态、陈绝缘体相,为了描述拓扑绝缘体必须要引入新的拓扑不变量,包括Z2指标和自旋陈数。众所周知,维度、对称性和拓扑性质决定了无序体系的体扩展态性质。作为一种具有新拓扑序的物质态,二维拓扑绝缘体(又叫量子自旋霍尔态,Quantum Spin Hall state,简写为QSH)的体扩展态性质引起了大家的兴趣。一方面,非平庸的拓扑性质预示着扩展态的存在,将极大地影响体系局域化的性质；另一方面,无序体系中退局域化态(即扩展态)的存在及湮灭的研究反过来也有力地支持体系是拓扑非平庸的。根据普适类的概念,不同的无序体系可以归到不同普适类中,这种分类不依赖于模型的细节。无序二维拓扑绝缘体的归类也是我们感兴趣的方向所在,这会加深我们对拓扑绝缘体体系的了解。论文主要包括以下内容：在第一章中,简要的介绍本文有关的实验和理论背景,处理问题的理论方法,以及文中所涉及的物理概念等。在第二章中,我们通过研究外加垂直和水平Zeeman场的Kane-Mele模型,证明了robust体扩展态的存在,并且扩展态是由拓扑不变量-自旋陈数所保护的。自旋陈数C±则由能带和自旋谱的gap所保护。通过能级统计分析、局域化长度的计算以及自旋陈数C±的计算,给出了体系相图。垂直交换场情况下,对于任意大的交换场,自旋gap始终打开,价带和导带扩展态通过对湮灭的机制在能带gap处互相消灭。而对于较强的水平场,在一定无序强度时自旋gap会闭合,导致自旋陈数消灭,从而扩展态跟着消失,而不呈现出能带gap处的对湮灭这一过程。在第三章中,通过对Thouless电导的标度分析,我们研究了量子自旋霍尔系统中无序驱动的金属绝缘体相变。在一定的临界无序强度下,电导并不依赖于体系尺寸的变化,表明临界的退局域化体电子态的存在。通过β函数的计算,揭示了体系的金属绝缘体相变属于Kosterlitz-Thouless (KT)类型的相变,并伴随有由局域电流定义的涡旋-反涡旋对的束缚与解离的KT相变的典型特征。我们对具备和不具备时间反演对称性的量子自旋霍尔体系的β函数进行了比较,发现二者在金属端是一致的,不过在绝缘端则有差异,这归因于两类体系的属于不同对称类所致。在第四章中,我们提出了一个基于六角格子的晶格模型。在合适的参数范围下,其低能电子物理性质主要由r点附近的能谱决定,并能展示出量子自旋霍尔效应。通过陈数的计算,我们给出了模型的相图,并通过berry曲率和边缘态谱的计算,揭示了量子自旋霍尔相和绝缘体相的不同特征。在长波极限下,六角晶格模型被证明等价于描述三维拓扑绝缘体薄膜表面态的有效哈密顿。从而,这个模型可用于模拟薄膜表面态的物理性质。在第五章中,我们通过ECA (embedded cluster approximation)数值方法研究了在磁场下相互作用量子点的磁输运性质。在不同的输运区域,电导G。展现了不同的磁场依赖性。通过电导自旋极化率的计算与比较,我们发现混价区有最大的极化率。作为磁场和近藤温度比值H／TK的函数,G。在近藤区展现了近似的普适行为。我们同样研究了电导对于相互作用强度的依赖性并发现某些情况下有趣的极化率变号行为。