在大数据时代,图像的大小和分辨率在不断增加,传统的图像算法面临着数据维数高、存储空间不足以及各种干扰等诸多挑战,图像的有效近似变得越来越重要。图像通常以多维数组的形式给出。因此,图像中相邻像素之间存在着密切的相关性。然而,传统的算法在很大程度上忽略了像素相关性,将图像重铸为欧几里得空间中的向量。若充分考虑像素之间的相关性,图像近似算法可以有更高的性能,即产生高质量的图像近似。近几年,有学者提出了有限维交换代数上的广义矩阵理论,这个理论将复数扩展到称为广义标量的固定大小的复数数组。有限维可交换代数称为T代数,是所有广义标量的代数集合,具有加法和循环卷积乘法。在T代数上,可将传统矩阵和张量扩展为以广义标量为元素的广义矩阵和广义张量,最近,本课题组提出了一种矩阵表示法来表征广义标量和广义矩阵的线性特点。为了在图像中使用广义线性/多线性算法,可以使用邻域扩展策略将每个像素灰度值（标量）扩展到对应的广义标量,并使用广义矩阵或广义张量表示图像。本文讨论了一些传统图像逼近算法在T代数上推广问题,还研究了局部交替优化算法（高阶正交迭代）的推广问题,并利用该算法提高图像逼近的质量,比较了几种传统算法和广义算法的图像重建质量。本文的工作内容如下:（1）利用所提出的像素邻域扩展策略,将传统矩阵的奇异值分解推广到T代数上的广义奇异值分解。采用广义奇异值分解算法进行图像的低秩近似重建。广义奇异值分解算法近似的基本机制是通过广义矩阵的矩阵表示来解释的,每个广义矩阵用一个分块对角复矩阵表示。实验表明,广义奇异值分解算法的图像近似质量高于传统奇异值分解。（2）利用所提出的像素邻域扩展策略,将高阶奇异值分解推广到T代数上的广义高阶奇异值分解。采用高阶奇异值分解和广义高阶奇异值分解两种方法来逼近多路图像,比较基于两种算法的重建图像质量。为了解释广义高阶奇异值分解,定义了广义张量的概念,即元素为广义标量的多路数组。广义高阶奇异值分解使用广义多模乘法来逼近多路图像,方法是在每个模上乘以一个低秩广义幂等矩阵。然而,在峰值信噪比评价标准下,图像重建质量往往不是最优的。为此,作者们采用局部交替优化算法（高阶正交迭代）及其对应的广义算法（基于T代数的广义推广）进一步改进高阶奇异值分解和广义高阶奇异值分解的结果。实验表明,广义高阶奇异值分解算法和局部优化的广义高阶奇异值分解算法优于对应的经典算法,同时也证明了使用高阶广义标量项的广义算法优于使用低阶广义标量项的同类算法。（3）讨论了在广义奇异值分解框架下的各种主成分分析算法的统一问题。主成分分析、二维主成分分析、二维双向主成分分析和多线性主成分分析以及对应在T代数上推广的广义主成分分析、广义二维主成分分析、广义二维双向主成分分析和广义多线性主成分分析统一为广义高阶奇异值分解框架下的一种特殊情况。实验表明,广义算法始终优于传统算法。本文利用广义矩阵和张量算法对图像进行重建,验证了广义矩阵理论和分块对角矩阵表示模型的有效性。许多其他的矩阵或者张量算法亦可通过一致且直接的方法推广到T代数。