玻色-爱因斯坦凝聚(Bose-Einstein condensation,简称BEC)描述当温度低于某一临界值时玻色子体系中大量粒子凝聚到一个或几个量子态的现象。BEC是量子统计物理学的基本结论之一。由于泡利不相容原理费米子不能直接形成BEC,但可以通过Bardeen-Cooper-Schrieffer(BCS)等机制形成费米子对的凝聚。BEC是一大类宏观量子现象的物理根源,是超导、超流物理学的理论基础。研究表明,BEC与BCS可视为BCS-BEC渡越理论的两个极限。　　近年来,由于激光冷却与囚禁技术研究的进展,人们终于实现了弱相互作用玻色原子气体的BEC,并进而实现了费米原子气体的量子简并与费米原子对的超流;利用Feshbach共振技术改变原子间相互作用的大小与符号,又成功地实现了费米原子气体从BCS超流到BEC两种极限之间的渡越。超冷量子气体已成为当前原子分子物理、非线性与量子光学、统计和凝聚态物理等学科的重要交叉研究领域,无论是从基础物理研究方面(包括光与物质相互作用的奇异量子特性及其调控、强关联体系的量子模拟等),还是从发展高新技术方面(原子激光、原子干涉仪、原子芯片、原子钟、量子计算机的研制等)都有十分重要的意义。元激发是相互作用量子多体理论的基本概念,也是统计与凝聚态物理学中最主要的研究内容之一。集体激发是超流原子气体元激发的主要形式,描述在外加囚禁势中相互作用多体系统表现出来的集体振荡行为。世界上许多实验室已对超流原子气体中的集体激发进行了大量的研究,不仅成果丰硕,而且已经发展了对振荡频率等物理量的精密测量技术。该方面的研究对于揭示非均匀量子体系中原子间相互作用性质的许多新奇特性和探索超冷量子气体的超流特性均有重要意义。BCS-BEC渡越中超流费米原子气体的集体激发原则上可用微观理论加以描述。但是目前人们对BCS-BEC渡越的微观物理机制尚不十分清楚,外加囚禁势又要求处理非均匀量子多体体系,因而使问题的求解十分困难。另外,对于集体激发的含时演化及其相互作用等非线性非平衡动力学问题而言使用微观理论是很不方便的。注意到在超低温条件下超流费米原子气体处于宏观量子相干态,因而可用一个宏观波函数(序参量)描述。该波函数的含时演化方程可以在超流流体动力学方程中适当地加入量子压力项而得到。利用从量子Monte-Carlo方法求得的物态方程,超流序参量方程可以很好地描述BCS-BEC渡越的不同超流区域中集体激发的动力学及其相互作用行为。　　本文主要利用宏观序参量方程研究在外加囚禁势阱中超流费米原子气体中的集体激发及其相互作用,所得主要研究结果如下:　　1.研究了在不同形状囚禁势下超流费米原子气体在BCS-BEC各种渡越区域的集体激发行为。利用变分法详细分析计算了世界上几个著名实验小组探测过的几个集体激发模式的物理特性,研究了在计入和忽略动能两种条件下体系的集体振荡频率与粒子间散射长度的变化关系,证明了当体系的各向异性比较明显(雪茄型或盘型)时系统的动能不可忽略,因而理论上广泛使用的托马斯-费米近似失效。除此之外,还给出了当外加囚禁势具有不同各向异性参数时超流体的凝聚粒子数对不同超流区域的依赖关系,为进一步开展有关的实验工作提供了理论指导。　　2.由于技术上的原因,目前实验上超冷量子气体物理特性的获得大都是通过原子气体的飞行时间测量。我们研究了当外势撤消后超流费米原子气体产生的各向异性自由膨胀,得到了在BCS-BEC渡越区雪茄型和盘型囚禁势中的费米原子凝聚体各向异性膨胀速率与粒子间相互作用参数的变化关系。　　3.当外加扰动的振幅较大时,即使在零温条件下体系的集体激发也会产生显著的非线性效应。我们研究了处于外加囚禁势中超流费米原子气体对外加扰动的非线性响应,特别详细地计算了目前实验上研究较多的三个低阶集体振荡模式在大振幅扰动下可能产生的非线性频率移动。我们发现,集体模频移的理论计算结果在某些系统参数处出现发散行为,这对应于集体模式之间的共振相互作用。我们利用Lindstedt-Poincar(?)摄动方法研究了这些共振相互作用,特别探讨了在某些特定参数条件下当满足相位匹配条件时集体激发的二次谐波产生,并用数值模拟对解析结果进行了检验。　　4.我们还对超冷量子费米气体的超流约瑟夫森效应进行了研究。结果表明,由于体系的相干特性双阱势中的超流费米原子气体可相互隧穿并产生非线性Rabi振荡。由于粒子之间相互作用的存在,在一定的耦合条件下系统可出现宏观自囚禁现象。我们详细讨论了约瑟夫森效应和宏观自囚禁现象在BCS-BEC渡越的各种超流区域中的行为,给出了两团原子气体之间的耦合强度与粒子数振荡和自囚禁等效应之间的相互关系,预言了有关实验现象并给出了产生这些现象的系统参数范围。　　本论文给出的研究结果有助于深入了解超冷费米原子气体在BCS-BEC渡越区的各种超流特性,也为开展与此相关的实验工作提供了有益的理论指导。