数论中最古老的一个分支是丢番图方程,其内容丰富丰富,与代数数论,代致几何,组合数学等都有密切的联系,近三十年来,数论还被广泛于计算机科学,信息编码,密码学理论中,基于数学难题的密码机制的提出和开发,又给数论研究增加了新的内容。基于椭圆曲线Abel群上的离散对数问题构造的公钥密码是现在最热的密码机制,随着量子计算机的甚嚣尘上,关于如何设计出一种能抵抗量子攻击的密码的议题越来越受到重视,正好阿贝尔群范畴上的态度问题,特别是基于有限域上的椭圆曲线之间的同源计算问题,被认为能够抵挡量子计算机的攻击,也适用于构造公钥密码系统。本文内容共分两块,一块是丢番图方程的求解,另一块就是椭圆曲线的计算问题的研究.丢番图方面,针对两种丢番图方程问题,介绍自己的研究成果,包括：1)系统的分析了丢番图的初等方法,给出了关于丢番图x2+2=4的解的两个重要结论；2)利用A.Baker方法和LLL算法,完整的解决了联立方程的整数解问题椭圆曲线的计算方面,我们首先给出Hasse定理的新的证明,然后从理论出发,研究了椭圆曲线的同源计算方法,并给出一个新的算法,达到目前最优复杂度。论文所得结果对于椭圆曲线同源密码的应用具有一定意义。