泛函微分方程的振动理论作为泛函微分方程定性理论的一部分,在最近30多年中有了迅速的发展,见[1-4].广泛的应用背景是促使这一理论迅速发展的基础.从Sturm(1836)研究热传导方程时提出二阶线性常微分方程x″(t)+a(t)x(t)=0的振动问题以来,常微分方程的振动理论已有很久的历史.泛函微分方程振动理论区别于常微分方程的振动理论,它的重点是揭示微分方程中的偏差变元的出现引起的解的振动性或非振动性.带连续变量的时滞差分方程的振动性和测度链上泛函微分方程振动解的零点分布是泛函微分方程振动理论的重要组成部分.该文我们主要研究这两个问题.该文有三部分组成:第一部分是前言.作者简单介绍了一下泛函微分方程的振动理论的提出及应用背景,给出了该文主要的研究问题.第二部分是关于带连续变量的时滞差分方程振动性的研究.文献[12]揭示了连续变量差分方程与离散变量差分方程振动性之间的某种内在联系.作者改进了[22]中研究离散变量差分方程振动性的方法并用此方法研究了连续变量差分方程的振动性,改进了已知的结果.第三部分是研究测度链上时滞微分方程的广义零点分布.微分方程经过差分化后引出差分方程.人们会问差分化后的差分方程,其性质与原来的微分方程是否相同.许多经验表明,微分方程的许多性质经差分化后是保留下来了.德国数学家Hilger在1990年发表了测度链(Measure chains)分析—一个连续与离散计算的统一方法[24].此文发表后受到数学家的广泛关注.文[26]中研究了时间测度上的一阶时滞线性微分方程x<Δ>(t)+p(t)x(γ(t))=0,t∈T,其中T为一时间测度,得到了该方程振动的充分条件.人们自然要问:当方程振动时,所有解的相邻零点距离是否有界?这个界应怎样估计?在这一部分作者研究了这个问题,并获得了一些重要的结果.