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小波变换是一种很有效的信号处理方法,被广泛应用于信号的特征提取和稀疏重构等相关领域。基于图像信号在小波多尺度变换下具有稀疏结构的先验知识,本文使用小波方法对图像的稀疏复原问题进行了研究。从稀疏表示的角度出发,首先构造了具有特定方向属性的几何小波多尺度系统对图像进行稀疏表示,充分发掘其内在的稀疏属性;然后使用正则化方法,引入相应的稀疏泛函建立了凸优化复原模型。为了进一步提高重构质量,模型中还引入了方向全变分作为联合正则项对复原结果的边缘光滑性进行约束;最后利用快速算法对模型进行求解。本文的研究针对图像去模糊、图像修补和图像去雨线三种复原问题展开,研究内容主要包括以下三个方面:一、针对图像去模糊问题,提出了一种加权?1范数的联合正则项凸优化稀疏复原模型。基于二维及高维图像信号在shealets小波变换下高频分解系数具有稀疏结构的先验知识,使用shearlets变换系数的?1范数作为正则项对复原结果的内在稀疏性进行约束,并引入方向全变分作为约束重构图像边缘光滑性的正则项来构造复原模型。算法的实施包括两部分:权重的更新和加权模型的求解。权重的更新通过一种多步松弛优化算法不断对小波系数的稀疏结构进行学习来实现。加权模型的求解使用split Bregman算法来实现。由于模型为凸函数,算法的收敛速度较快。数值实验使用三种不同类型的模糊图像对我们提出的方法的去模糊效果进行测试,并从复原结果的质量评价指标和可视化效果两个方面对比了三种state-of-the-art的方法和本文方法的复原效果来说明后者的有效性。二、针对图像修补问题,提出了一种?1范数的联合正则项凸优化稀疏复原模型。首先,基于二维及高维图像在频域内能量分布主要集中于坐标轴附近（即低频和部分高频区域）的事实,构造了一种频域能量分布相适应的方向性几何小波多尺度系统对图像信号进行稀疏表示,加强高频域内小波分解系数的稀疏性;然后,使用该多尺度变换系数的?1范数和方向全变分作为联合正则项构造模型,约束复原结果的内在稀疏性和边缘光滑性;最后,使用split Bregman算法对模型进行了求解。由于模型是凸函数,算法收敛较快,而且可以得到全局最优解。另外,该复原模型除了用于图像修补外,还可以用于图像去模糊。数值实验分别使用医学磁共振图像和模糊图像对本文方法的修补和去模糊效果进行测试。实验结果表明,我们的方法在图像去模糊和图像修补两个方面均具有较好的复原结果。三、针对单张图像去雨线问题,提出了一种?1范数的复合正则项凸优化稀疏复原模型。首先,基于图像中雨线方向的专一性,构造了一种具有特定方向属性的几何小波多尺度系统对雨线图像进行稀疏表示;然后,充分发掘雨线及背景层的内在稀疏先验,包括（1）背景层在雨线方向的小波分解系数具有稀疏结构;（2）雨线层在雨线垂直方向的小波分解系数具有稀疏结构;（3）雨线本身具有稀疏结构。选取相应的?1范数作为稀疏正则项构造去雨线模型。模型求解使用split Bregman算法。由于模型为凸函数,算法收敛较快;最后,使用仿真数据和真实数据对我们提出的去雨线方法进行测试,并从复原结果的可视化和质量评价指标两方面来评价本文方法的去雨线效果。