【摘 要】
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Catalan数是组合学中重要的计数序列,以比利时数学家Eugene Charles Cata-lan(1814-1894)命名。多年来,有关 Catalan 数及其性质 的研究结果层出不穷,本文主要是在这些已有结
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Catalan数是组合学中重要的计数序列,以比利时数学家Eugene Charles Cata-lan(1814-1894)命名。多年来,有关 Catalan 数及其性质 的研究结果层出不穷,本文主要是在这些已有结论的基础上,进一步对Catalan数及其性质进行研究推广。全文分为六章:第一章介绍了本文的研究背景,研究内容及研究意义。第二章应用Cauchy积分公式建立了 Catalan数生成函数的积分表示,并由该积分表示得到了Catalan数的若干性质,包括Catalan数的完全单调性,行列式性质和不等式性质。除此之外,还得到了 Catalan数的渐近展开和一些包含Catalan数的序列的性质,并将Catalan数进行了推广,得到了 Catalan-Qi函数。第三章是对Catalan-Qi函数及其性质的研究。本章得到了 Catalan-Qi函数的渐近展开,积分表示,完全单调性,对数完全单调性,生成函数,以及双边不等式。第四章将Catalan数,Fuss数,Fuss-Catalan数以及Catalan-Qi函数做了统一的推广,并得到了该推广的一些性质。第五章应用第二、三、四章研究Catalan数的方法研究了组合论中的另一种重要计数序列Schroder数。本章得到了Schroder数的显示公式和其生成函数几个积分表示。最后是总结和展望。
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