作为相对论凝聚态物理体系的代表，石墨烯和硅烯因其优良的物理性质而成为未来量子器件的备选材料，并因其载流子服从相对论量子力学方程即Dirac方程而成为量子电动力学的研究平台。本文针对Dirac方程在电场、磁场和质量场中的受限态问题，发展出了Dirac方程在外场下的分区级数解法，阐明了石墨烯受限Dirac电子态在磁场和电场中的能谱特征，探讨了硅烯中的量子点和Klein效应。对于仅有磁场存在时的Dirac方程，本文基于Schr dinger方程下的分区级数方法，能够得到具有中心对称性的各种磁场中的Dirac电子态的精确解。本文探讨了Dirac电子在非均匀磁场中的受限情况，并以石墨烯中非均匀磁场形成的磁量子点（环）结构为例，研究了磁场的非均匀性对于朗道能级的影响，指出非均匀性能够解除朗道能级的无限简并性，并产生可调控的能级序列。当其他形式的场如电场出现在Dirac方程中时，Dirac方程通常无法转化为与Schr dinger方程相似的形式，使其求解更加困难。针对此问题，本文首先发展出了去耦合Dirac方程的分区级数解法，得到了石墨烯中Dirac电子施主库仑杂质态在磁场中的正能谱结构。为进一步得到库仑杂质态在磁场和电场中的正负能谱结构，本文提出和实现了Dirac方程的耦合分区级数解法，能够求解Dirac方程在电场、磁场和质量场中的完整能级结构和波函数的问题，并在推导渐近解时，得到了Dirac电子在外场中的受限与非受限的判断条件。利用此方法，本文研究了石墨烯的库仑杂质态在磁场中的能谱结构与电子质量、磁场、库仑场和角动量的关系，通过对石墨烯的K和K ’谷能谱的比较，发现有质量Dirac电子的库仑杂质态在磁场中发生谷间劈裂，并利用精确对角化方法探讨了谷间耦合的情况。进一步，在石墨烯中，本文研究了均匀磁场和线性电场的共同作用对于Dirac电子受限状况的影响，指出当电场小于磁场时，Dirac电子受限；反之，Dirac电子不受限而发生Klein隧穿。最后，利用垂直电场能够在硅烯中产生质量场的现象，本文指出在硅烯中利用非均匀垂直电场形成量子点从而实现Dirac电子态的受限，通过分析此种量子点的形状尺寸和磁场效应，说明质量场和磁场能够调控硅烯中的受限电子态。本文以抛物型的质量场和水平电场为例，利用能谱的变化考察了Klein隧穿效应发生的过程，指出当Dirac电子处于受限与非受限的转变点时，正能量的电子态塌缩到分立的能级上，负能量的电子态都塌缩到零能上，这一现象为解析公式所证实。