图的自同构把图与群联系起来，成为图论研究中的一个重要而有效的方法．图的自同态把图和半群联系在了一起，可望应用于图论研究中．自同态、半强自同态、局部强自同态、拟强自同态、强自同态和自同构构成图的自同态的分层．图的所有自同态、强自同态和自同构都构成幺半群，而所有半强自同态、局部强自同态和拟强自同态一般不构成半群．M．Bottcher和U．Knauer提出了如下的一个公开问题：图满足什么条件时，它的所有半强自同态(局部强自同态、拟强自同态)构成幺半群?显然要给出这个问题的一个普遍的回答是十分困难的．本文我们主要就两类图解答上述问题． 第一章和第二章主要介绍研究背景、预备知识以及半强、局部强和拟强自同态的有关基本结果． 第三章讨论和刻画了n棱柱的半强自同态、局部强自同态、拟强自同态和强自同态．证明了n棱柱的拟强自同态都是强自同态，且它的所有半强、局部强、拟强自同态都构成幺半群． 第四章讨论和刻画了连通分裂图的半强、局部强和拟强自同态，分别给出了它们形成幺半群的充要条件，在分裂图范围内回答了M．Bottcher和U．Knauer提出的公开问题．