在群的理论研究中,我们常常需要知道群的一些数量性质.例如:群的阶、子群的个数、一个群的Sylow p?子群的个数等等.这样一些数量性质是群论研究的重要内容.反过来,如果我们知道群的一些数量性质,也可以得到群的性质.这也是群论工作者十分感兴趣的问题.事实证明,从简单的数量性质出发,的确可以得到很好的性质.例如:奇数阶群可解;如果一个群只有一个Sylow p-子群,则该Sylow p?子群正规,且是特征子群等.本文利用Sylow定理,Sylow子群和正规子群,Lagrange定理等知识及相关理论,分别研究了p²q、p³q、p⁴q、p⁵q阶和pⁿq阶（其中p < q为奇素数）有限群.目前已得到下面的几个结论:定理1设有限群G , |G| = p²q（其中p < q为奇素数）, P∈Sylp_G,Q∈Syl_q（G）,若,则:此时群G为交换群.特别地,当P为循环群时,群G为循环群.定理2设|G| = p³q,（其中p < q为奇素数）, P∈Syl_p （ G）, Q∈Syl_q（G）,若,则群G交换且群G的Sylow子群唯一.定理3设|G| = p⁴q,（其中p < q为奇素数）, P∈Syl_p （ G）, Q∈Syl_q（G）,若,则群G的Sylow子群唯一,即定理4设|G| = p⁵q,（其中p < q为奇素数）, P∈Syl_p （ G）, Q∈Syl_q（G）,若且p + a≠q,则群G的Sylow子群唯一,即.定理5设|G| = pⁿq, P∈Syl_p（ G）,若,则群G必存在正规的Sylow p -子群.定理6设|G| = pⁿq,若n_q = pⁿ,则群G的Sylow p-子群必正规.