Klein-Gordon方程作为Schrodinger方程的相对论形式,在数学物理中有着至关重要的作用,它涉及一些非线性方程的研究.由于该问题一般无法求出其解析解,因此,只能用数值方法求其数值解.要对它进行数值分析,必然会造成一定的误差,从而影响研究结果,那么采用高精度的数值方法是非常必要的.近年来一些学者对Klein-Gordon方程的高精度算法做了相关研究,但是对于用高精度的有限差分方法离散Klein-Gordon方程的工作相对较少.本文主要研究非线性Klein-Gordon方程Neumann边值问题的高阶差分格式.文章共分为三章.第一章介绍本文所研究问题的实际意义、研究现状以及本文的研究内容和结果.第二章研究一维非线性Klein-Gordon方程Neumann边值问题的数值解.我们首先利用边界条件及方程得到毋)和u乎)在边界处的值,进而分别在内点和边界点处建立三点和两点紧差分格式,其截断误差为O(r2+h4).之后进行理论分析.由于文中的夕(u),.f存在有界性限制,从而可以用数学归纳法对差分格式进行分析.借助于能量估计、Gronwall不等式、Schwarz不等式等技巧,最终得到差分格式在无穷范数下的收敛性和稳定性.最后进行数值试验.通过数值试验验证了我们所得结论的正确性.第三章研究二维非线性Klein-Gordon方程Neumann边值问题的数值解.类似于一维的情况,我们利用边界条件及方程得到u的三阶偏导数和五阶偏导数在边界处的值,进而分别在内点和边界点处建立紧差分格式,并通过连乘的方式将其表示出来,其截断误差为o(τ2+h4).由于无法保证误差的有界性,故不能用数学归纳法进行理论分析.但是通过数值试验容易看出差分格式在L∞范数下的收敛阶数是O(τ2+h4).