本文首先介绍凸体几何的发展历史和各主要研究方向的发展概况，本博士论文以研究一般凸体、星体以及单形和超平行体等特殊类凸体的度量不等式和极值问题为主要内容，研究工作分为两个方面。 一方面是利用几何分析的渐近理论、局部理论和积分变换方法研究一般凸体和星体的度量不等式和极值问题，由第二章和第三章构成。由于Petty-Schneider问题是凸体几何中一个热点问题，第二章首先推广Petty-Schneider问题到一般的均质积分情形；Ball在研究Petty-Schneider问题时讨论了球和立方体的截面性质，受Ball思想的启发，我们给出了球的截面的两个新的度量不等式；关于凸体的Brunn-Minkowski不等式是凸体理论的精髓，混合投影体的Brunn-Minkowski不等式也由Lutwak所证明，我们则证明了投影体的极体的Brunn-Minkowski型不等式。星体的对偶Brunn-Minkowski理论是上世纪70年代产生的新兴研究领域，第三章我们建立了星体对偶均质积分的两个新型不等式，它们形式上类似于正实数的初等对称函数的Marcus-Lopes不等式和Bergstrom不等式，也类似于行列式的Fan Ky不等式。此外，我们还证明了星体的对偶混合均质积分和对偶混合p-均质积分的相关性质。 另一方面的工作是利用外微分和代数的方法研究一些特殊类的凸体(如单形、超平行体等)的度量不等式和极值性质，这方面的研究工作由第四章、第五章和第六章构成。凸体的混合体积为几何中的各类度量提供了统一的处理模式，它是有限个凸体的连续函数，本文第四章引入凸体混合体积的离散形式：两个有限向量集的混合体积的概念，同时利用外微分为工具证明了向量集的混合体积与由两向量集分别张成的平行体体积之间的一个强有力的不等式；Cayley-Menger行列式是解决有限点集不等式和嵌入问题的极好工具，我们则定义了两个点集的混合Cayley-Menger行列式，获得了混合Cayley-Menger行列式与向量集的混合体积以及两个单形体积乘积之间的关系，这个关系式容量大，包含了不少的经典度量关系和近期被发现的新结果；我们还引入两个单形的混合距离矩阵的概念，证明了它的行列式与两单形的外径的等量关系。在第四章最后，利用我们获得的主要结论简洁地证明了如单形的正弦定理和平行体的Hadamaxd不等式的逆形式等一些著名的结论。第五章的任务是利用一个分析不等式和杨路-张景中质点组不等式和权变换的方法把关于两个三角形的Klamkin不等式推广到高维空间，同时建立一系列的涉及单形的体积、各面面积、任意点到单形的各顶点距离的新的不等式。第六章我们利用外微分的方II法，首次给出了。维单形中面的解析表达式，并且证明了单形中面类似于三角形中线的性质，如对于一个给定的单形，存在另一个单形使得它的棱长分别等于给定单形的中面面积的值，一个单形的所有中面有且仅有一个公共点等.进一步，利用中面的表达式建立了一系列涉及单形的棱长、各面面积、外径、中线长等的新的不等式。