最早在1807年,当时著名的法国数学家、物理学家傅立叶(Jean Baptiste Joseph Fourier)就提出了一个在后来各个领域的应用都极其广泛的理论——傅立叶变换.从1807年开始,一直到1966年,历时长达一个多世纪,才一步一步的走向成熟.它是利用分析函数的方法来达到研究复杂函数的目的.它不仅在物理学中有着重要的内涵,而且在数学的各个分支中也有着不可估量的作用.但是傅里叶变换也有让人感到不满意的地方,比如在现实生活中的很多信号并不是平稳的,对于这些非平稳信号,傅里叶变换处理的结果差强人意,甚至与实际结果相去甚远.对于傅里叶变换不足的地方,Gabor发现了,并且提出了窗口傅里叶变换,虽然窗口傅里叶变换解决了傅里叶变换存在的部分问题,但是对于一些突变的信号,窗口傅里叶变换得出的结果令人失望.窗口傅里叶变换虽然优于傅里叶变换,但是对于它的不足之处仍需要做出改进,小波变换应运而生.小波变换是在Fourier变换和窗口 Fourier变换的基础上发展起来的,但是它却克服了 Fourier变换和窗口Fourier变换的缺点.小波变换的基函数ψa,b(t)相当于窗函数,而且是可变的,由于只要函数满足一定条件都可以作为小波基函数,因此非常重要的一个问题是:在小波变换中怎么样才能找到令人满意的小波基函数.在1988年,Mallat和Meyer建立了多分辨分析,从此构造小波基函数的方法可以依据多分辨分析.从小波分析的发展历程来看,它是在具有不同背景的学者共同努力下逐步发展的,并且不断趋于完善的,同时也促进了全世界众多领域的发展和进步.小波分析理论的发现,充分的说明了大科学时代各学科之间需要相互综合,相互渗透.本文的主要内容安排如下:第一章:预备知识.介绍了本文用到的相关记号,以及傅里叶变换和小波分析的相关知识.第二章:二维康托尔集上的多分辨分析.根据多分辨分析的概念,给出了二维康托尔集上的多分辨分析,可以使读者更好的理解多分辨分析.第三章:p进Vilenkin群上的小波算法.介绍了基于进Vilenkin群上的小波以及长度为四的尺度滤波和Mallat树型算法.第四章:基于p进Vilenkin群的小波方法解微分方程.给出了基于p进Vilenkin傅里叶-沃尔什级数,还给出定理证明n阶线性微分方程和一阶齐次波动方程解的存在唯一性.