本文研究内容属于Brunn-Minkowski理论领域的范畴,是国际上凸几何分析的前沿研究领域.文中主要运用Brunn-Minkowski理论、泛函分析和几何分析的基本理论知识,研究了Lp空间与复向量空间中的几何不等式、极值问题与Shephard问题(也称Busemann-Petty问题).在第一章,我们首先介绍了Brunn-Minkowski理论的发展与研究动态.然后,阐述了本文的主要研究成果.在第二章,我们首先定义了Lp-混合均质积分概率测度,得到了Lp-混合均质积分的log-Minkowski不等式.作为应用,我们建立了Lp-混合仿射等周不等式.此外,我们还考虑了log-Minkowski不等式的对偶形式.在第三章,我们对Lp空间中广义Lp几何体与广义Lp几何测度做了进一步的研究.在本章中我们通过改进Lp-几何表面积的概念,研究了广义Lp-投影体关于Lp-几何表面积的Shephard型问题;其次,我们进一步研究了广义Lp-相交体的概念与相关性质,结合对偶均质积分研究了广义Lp-相交体极值问题;然后,我们建立了广义Lp-混合宽度积分和广义Lp-混合弦积分不同类型的循环型不等式,并得到了相关的Minkowski型不等式;最后,我们定义了多重星体的对偶混合仿射表面积的概念,并建立了相关的循环型不等式、积不等式、单调不等式和Brunn-Minkowski型不等式.在第四章,通过研究Schuster在2006年提出的Blaschke-Minkowski同态的概念,结合凸体的广义宽度积分,我们建立了广义宽度积分关于Blaschke-Minkowski同态的Brunn-Minkowski不等式与差分不等式.作为应用,我们还推导出了宽度积分关于投影体的不等式.在第五章,我们将混合亮度积分的概念推广到复向量空间,分别定义了混合复亮度积分与对偶混合复亮度积分的概念,并分别建立了相关的Brunn-Minkowski型不等式、Aleksandrov-Fenchel不等式、循环不等式和单调不等式,作为应用我们还分别建立混合复亮度积分与对偶混合复亮度积分的差分不等式;然后,基于Haberl提出的复质心体的概念,我们首先定义了复调和Blaschke组合的概念,并建立了复质心体关于复调和Blaschke组合的Brunn-Minkowski型不等式,此外,我们还建立了复质心体的单调不等式并研究了它的Shephard型问题.