【摘 要】
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各种声波、弹性波、电磁波等波动问题的求解在电磁学、声学、地震学、材料科学等领域有重要应用价值.在频域上求解这些波动问题则转化为Helmholtz方程的求解.高波数Hemlholtz
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各种声波、弹性波、电磁波等波动问题的求解在电磁学、声学、地震学、材料科学等领域有重要应用价值.在频域上求解这些波动问题则转化为Helmholtz方程的求解.高波数Hemlholtz方程的求解是科学计算领域的重要研究课题.在使用传统的Galerkin有限元方法求解高波数Helmholtz方程时,会因为网格尺寸没有充分小到最小波长的量级,导致数值解和解析解之间存在波的相位差,从而产生“污染效应”.消除“污染效应”需要在高波数时加细网格,计算代价增大.本文的主要目的在于为Helmholtz方程设计能充分消除”污染效应”的量身定制有限元方法.本文回顾了Helmholtz方程的有限元方法和污染效应产生,以及前人致力于消除“污染效应”的相关工作,然后针对常系数的Helmholtz方程,利用齐次方程特解设计了定制有限元空间.对于一般的变系数Helmholtz方程,从高频波的振荡特性入手,设计了三角函数和线性函数的混合元空间,并证明了定制有限元方法的适定性,给出了相应误差估计.最后我们给出了数值算例,验证了定制有限元相关的理论结果.
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