在几何学的研究过程中,人们一般致力于内在的几何性质的研究,这些性质在研究所选取的模型变化的情况下保持不变,这意味着内在性质的证明不能依赖于模型,一般是以公理化的手段一步一步搭建起证明的框架.当借助模型进行研究时,如在欧氏几何中,一些问题可以借助笛卡尔坐标进行证明,而且通过代数化运算可以得到一些新的外在公式.类似的情况在球面几何与双曲几何中同样可能出现.　　本文的主要工作是借助于模型得到了球面几何与双曲几何中三角形面积的一些新的外在公式.　　本文的主要结果大致分为两个部分.　　1.在球面几何的单位球面模型中,我们借助球极投影的保角性将球面三角形面积问题转化为平面中两向量的夹角问题,得到了一个球面三角形面积的外在公式(定理3.1.1).另外我们将单位球面用四元数表达后,借助复数交比的性质得到了一个新的球面三角形面积的外在公式(定理3.1.2),并且将这个面积公式推广得到了一个一般球面四边形面积的外在公式(定理3.1.3).　　2.在双曲几何的双曲面模型中,我们借助投影的保角性将双曲三角形面积问题转化为平面上两向量的夹角问题,得到了一个双曲三角形面积的外在公式(定理3.2.1),以及将双曲面模型用四元数表达后利用交比的性质得到了一个双曲三角形面积的外在公式(定理3.2.2)并将其推广得到了一个一般双曲四边形面积的外在公式(定理3.2.3).在双曲几何的上半平面模型中,交比性质的利用变得更加直接,从而得到在上半平面模型中的双曲三角形面积的一个外在公式(定理3.2.4),它同样能推广至一般的双曲四边形(定理3.2.5).