【摘 要】
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本文采用局部一维化（LOD）方法将高维波动方程的定解问题分裂为多个一维问题.对于所得到的一维问题,基于泰勒级数展开式,分别运用二阶导数的四阶紧致差分公式和截断误差余项修正的方法,推导了两种高精度紧致差分格式.首先,采用LOD方法将二维变系数波动方程分裂为两个一维方程.对于每个一维方程,采用两种方法构造高精度紧致差分格式.当时间方向上的二阶导数采用泰勒级数展开和截断误差余项修正方法进行离散,空间方向
【基金项目】
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国家自然科学基金项目（批准号:11772165）； 几类生物趋化模型的高精度紧致差分方法研究（国家自然科学基金12161067）； Keller-Segel趋化方程的精确稳定高效数值模拟算法研究（宁夏自然科学基金2022AAC02023）；
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本文采用局部一维化（LOD）方法将高维波动方程的定解问题分裂为多个一维问题.对于所得到的一维问题,基于泰勒级数展开式,分别运用二阶导数的四阶紧致差分公式和截断误差余项修正的方法,推导了两种高精度紧致差分格式.首先,采用LOD方法将二维变系数波动方程分裂为两个一维方程.对于每个一维方程,采用两种方法构造高精度紧致差分格式.当时间方向上的二阶导数采用泰勒级数展开和截断误差余项修正方法进行离散,空间方向上的二阶导数采用四阶Padé方法进行离散时,我们建立了一种截断误差为O（τ4+τ2h2+h4）的显式高阶紧致LOD（EHOC-LOD）格式.当时间和空间方向上的二阶导数均采用Kreiss提出的四阶紧致差分方法进行离散时,我们建立了一种截断误差为O（τ4+τ2h2+h4）的隐式高阶紧致LOD（IHOC-LOD）格式.随后,利用Fourier方法分析两种格式的稳定性可知,EHOC-LOD格式稳定性条件为νmaxλ∈（0,0.8740）,而IHOC-LOD格式稳定性条件为νmaxλ∈（0,0.8944）.通过误差分析可得到,当函数的高阶导数部分条件不满足时,二维问题的LOD方法会产生分裂误差,导致格式的时间精度降为一阶.数值实验验证了两种格式的精确性和稳定性与理论分析结果相吻合.其次,将上述方法推广到三维问题中,得到了求解三维变系数波动方程的EHOC-LOD格式和IHOC-LOD格式,它们的截断误差均为O（τ4+τ2h2+h4）.利用Fourier方法分析两种格式的稳定性可以得到,EHOC-LOD格式稳定性条件为νmaxλ ∈（0,0.7290）,而IHOC-LOD格式稳定性条件为νmaxλ∈（0,0.7385）.通过误差分析可得到,当函数的高阶导数部分条件不满足时,三维问题的LOD方法会导致格式的时间精度降为一阶或二阶.通过数值实验验证了两种格式的精确性和稳定性与理论分析结果相吻合.最后,展示两种差分格式在PHOEBE Solver软件中如何使用.两种格式的接入可为后续研究高维变系数波动方程的学者进行数值对比实验提供方便.
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