Apollonius图又名加权Voronoi图,是传统Voronoi图的一种扩展衍生结构。不同于传统的Voronoi图采用欧式距离来度量距离长度,Apollonius图采用欧式距离减去每个种子点本身的权值这样一个加权距离作为距离度量。Voronoi图及其众多的衍生结构（例如Power图,加权Voronoi图,质心Voronoi图和质心Power图等）在运动规划,材料科学,分子生物学,晶体学和计算机图形学等众多领域具有理论和实际意义。Apollonius图与传统Voronoi图和Power图相比,有一个显著的不同点,传统Voronoi图和Power图的单元区域分界线都是直线（或平面）,而Apollonius图的区域分界线是双曲线（或曲面）。虽然二维的Apollonius图的计算已经具有了比较鲁棒的算法,但是由于三维Apollonius图其复杂的拓扑结构以及其单元区域间的分割界限为曲面的特性,三维Apollonius图的计算并没有一个真正的可用于实际应用的鲁棒算法。在本篇文章中,系统的分析了三维Apollonius图的拓扑结构,科学的论证了三维Apollonius图的基本理论性质,并且给出了一个鲁棒的快速计算三维Apollonius的算法。算法主要包括顶点的定位,边的追踪,以及面的构建三部分,其中最为关键的一步便是寻找顶点的准确位置,通过动态的将正方体包围盒分割成一系列小的包围盒,保证每个包围盒最多包含一个三维Apollonius图的顶点,以此来确定顶点的初步位置和候选的种子点,最终通过解方程的方式计算出三维Apollonius顶点精确的位置。最后,通过使用质心Voronoi图将三维Apollonius图的曲面离散为高质量三角形网格结构。在文章的最后通过广泛的指标评估和实验来验证算法的有效性和鲁棒性,并且给出了一个有趣的应用:计算三维质心Apollonius图。本篇文章的主要贡献有:（1）对三维Apollonius图的拓扑和几何特征进行系统分析,并讨论退化案例;（2）提出一种用于计算三维Apollonius图的快速算法。关键思想是将一个初始的正方体包围盒自适应地细分为一组足够小的正方体包围盒,这样每个包围盒最多包含一个三维Apollonius顶点;（3）提出了一种使用高质量的细分的三角形网格表示三维Apollonius图的计算工具,可以为计算几何中的其他相关工作提供便利。