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1781年,Monge,G.提出了一个最优运输问题（即Monge问题）,考虑把一定量的沙子从一地运到另一地,找到使总的运输费用最小的最优途径（数学上又称为最优映射）。1942年Kantorovich,L.V.也对此类运输问题提出了数学构造。他取出发点和终点的容积分别是度量空间上给定的两个概率测度,考虑如何找到以这两个概率测度为边际的联合概率测度（又称为最优运输计划）,使得两者之间的运输费用最小。具体构造为:给定Rn上的概率测度P,Q,一个以P,Q为边际分布的2n维随机向量（X,Y）称为P,Q的耦合;给定一个费用函数c（·,·）,我们要对所有的耦合最小化期望费用E[c（X,Y）]。因此人们又把上述运输问题统称为Mong-Kantorovich运输问题。在R1,上述运输问题早已完全解决,期望费用最小值为∫01c(F-1（t）－G-1（t）)dt,其中F,G分别是P,Q的分布函数,F-1,G-1分别是F,G的右逆。但多元情形很久没有突破性进展。直到1991年Brenier,Y.用凸函数的梯度刻画了最优映射,从而将单位费用c（x,y）=|x-y|2（|x-y|表示x,y之间的欧几里得距离,下同）时Monge-Kantorovich运输问题与经典的偏微分方程—Monge-Amp（?）re方程联系起来了。他的这篇文章建立了运输问题与偏微分方程、流体力学、几何学、概率论与泛函分析的美妙联系。从此,Monge-Kantorovich运输问题变得极其流行,因为许多不同领域的学者意识到这个主题与他们的领域联系非常密切,尤其引起了一大批偏微分方程方面专家学者的浓厚兴趣,如Evans,Trudinger分别得到在对已知测度的一定假设条件下,最优映射所满足的偏微分方程,其他大部分学者如Caffarelli等则用Monge-Kantorovich运输问题来研究一些经典的偏微分方程的解的有关性质。然而,他们的证明方法都比较复杂,所得到的偏微分方程也不太容易处理和实际应用。本文考虑当单位费用函数c（x,y）=|x-y|p（p≥2）时的多元Monge-Kantorovich运输问题（本文中简称为p-Monge-Kantorovich运输问题）。我们从概率论的角度,结合变分法,将多元p-Monge-Kantorovich运输问题转化成求解偏微分方程或偏微分方程组问题。特别地将二元2-Monge-Kantorovich运输问题（本文中也简称为平方Monge-Kantorovich运输问题）转化为一个Dirichlet边界的拟线性椭圆方程其中A（·,·）>0,B（·,·）>0,C是由初始分布决定的函数,H是未知的分布函数,而且我们得到了最优映射的显式表达式。同时我们讨论了离散情形,这样也就得到了Monge-Amp（?）re方程的一个数值计算方法。最后我们分析了p-Monge-Kantorovich运输问题（p>2）。显然此方法也适用于一般的凸单位费用函数。本文将分成如下几部分进行阐述。第一部分,回顾Monge-Kantorovich运输问题的现有主要结果,同时给出本文的主要研究思路。第二部分,从概率论的角度,利用变分法于多元平方Monge-Kantorovich运输问题的连续情形。二元时我们得到一个Dirichlet边界的拟线性椭圆方程,更高维时得到一个偏微分方程组。同时我们得到了最优映射的显式表达式。第三部分,考虑格子点空间上的最优耦合,给出多元离散平方Monge-Kantorovich运输问题最优解的刻画,从而也就得到了Monge-Amp（?）re方程的一个数值计算方法。第四部分,进一步考虑p-Monge-Kantorovich运输问题（p>2）,也得到一个偏微分方程。