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多项式微分方程组是非线性微分方程组的重要情形。本篇学位论文首先讨论了一阶多项式常微分方程组光滑解的存在性。我们利用与一元函数有关的常系数线性方程组的理论,将一阶多项式常微分方程组转化为二次多项式方程组与一阶常系数线性常微分方程组的合成。接着我们利用傅里叶变换将一阶常系数线性常微分方程组转化成线性方程组,并且求出其通解,然后根据该通解,我们将二次方程组转化为与非线性Fredholm积分方程组等价的不动点问题。我们利用压缩映射不动点原理和绍德尔不动点定理以及勒雷-邵德尔拓扑度理论,可以得到一阶多项式常微分方程组的光滑解的存在性有如下三种可能：(1)在有界闭区间[a,b]上,(?)a1>0,当b-a<a1时,光滑解都存在并且唯一。(2)(?)a2>a1>0,当b-a<a2时,光滑解在有界闭区间[a,b]上存在。(3)在有界闭区间[a,b]上,光滑解存在。并且,我们可以写出光滑解的与非线性Fredholm积分方程组有关的显式表达式。接着,我们将结论推广到一阶的多项式偏微分方程组。我们利用与多元函数有关的常系数线性方程组的理论,将一阶多项式偏微分方程组转化为二次多项式方程组与一阶常系数线性偏微分方程组的合成。接着我们利用傅里叶变换将一阶常系数线性偏微分方程组转化成线性方程组,并且求出其通解,然后根据该通解,我们将二次方程组转化为与非线性Fredholm积分方程组等价的不动点问题。我们利用压缩映射不动点原理和绍德尔不动点定理以及勒雷-邵德尔拓扑度理论,可以得到一阶多项式偏微分方程组的光滑解的存在性有如下三种可能：(1)在有界闭区域Ω上,(?)a1>0,当m(Ω)<a1时,光滑解都存在并且唯一(2)(?)a2>a1>0,当m(Ω)<a2时,光滑解在有界闭区域Ω上存在。(3)在有界闭区域Ω上,光滑解存在。同样,我们可以写出光滑解的与非线性Fredholm积分方程组有关的显式表达式。最后,我们讨论了纳维-斯托克斯方程组。我们利用与四元函数有关的常系数线性方程组的理论,将纳维-斯托克斯方程组转化为二次多项式方程组与一阶常系数线性偏微分方程组的合成。接着我们利用傅里叶变换将一阶常系数线性偏微分方程组转化成线性方程组,并且求出其通解,然后根据该通解,我们将二次方程组转化为与非线性Fredholm积分方程组等价的不动点问题。我们利用压缩映射不动点原理和绍德尔不动点定理以及勒雷-邵德尔拓扑度理论,可以得到纳维-斯托克斯方程组的光滑解的存在性有如下三种可能：(1)在Ω×[0,T]上,(?)a1>0,当m(Ω)<a1时,光滑解都存在并且唯一。(2)(?)a2>a1>0,当m(Q)<u2时,光滑解在Ω×[0,T]上存在。(3)在Ω×[0,T]上,光滑解存在。同样,我们可以写出光滑解的与非线性Fredholm积分方程组有关的显式表达式。