波动数值模拟是力学、地球物理和多个工程学科共同关注的领域,研究者在基础和应用研究方面皆取得了丰硕成果。然而由边界引入的局部失稳问题,即使在线性范围亦尚未彻底解决。这里“边界”泛指人工边界、物理边界或不同介质的分界面。本文着重研究人工边界引发的局部失稳现象的形成机理和消除方法：1.从偏微分方程初边值问题数值解的基本定理—Lax等价定理出发,依据数值解收敛方式的不同将定理中的稳定条件区分为强条件和弱条件,进而将稳定性分析方法归纳为强稳定分析和弱稳定分析。对前者着重阐明其在局部失稳问题研究中的价值；对后者则阐明其与有限元法结合应用于构建波动数值模拟稳定实现方案的价值。2.透射边界的强稳定分析取得以下结果：第一,通过解析论证边界反射系数大于1的条件完善了高频振荡失稳机理论述；第二,通过SH离散模型阐明了透射边界高频失稳的另一类机理,并依据强稳定分析提供的线索建议了消除此类失稳的一种方法；第三,系统地讨论了透射边界的零频飘移失稳机理,并解析地解释了数值实验中观察到的零频飘移失稳现象。3.基于波速有限原理和波动方程柯西解导出了一维模型界面点在一个短时间窗内的精确解,由此给出具有高阶精度的界面节点显式递推公式的一种构建方法和界面节点与内域节点精度阶相互匹配的计算方案。将强稳定分析通常采用的半无限模型推广到界面全无限模型,运用正则模态分析论证了二阶精度匹配方案的稳定性,并用数值试验检验了理论结果。4.针对采用完美匹配层的正交各向异性介质波动数值模拟方案中存在的数值失稳问题,基于一阶连续形式透射边界与有限元方法给出了一种数值模拟实现方案,且基于弱稳定分析初步论证了该方案的稳定性。5.将透射边界合并于紧接边界的内节点运动方程,给出了该边界的一个新的实现方案。该方案较之原方案不仅改进了边界的模拟精度,而且揭示了透射边界截断误差阶数与大区域数值解精度的关系,阐明了单纯提高边界精度阶的局限性和“匹配”概念的重要性。