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椭圆型偏微分方程边值问题，其主要应用于流体力学和固体力学中，在使用不同的数值方法时其误差主要来源于区域积分项。对于解决一个具有非线性边界的椭圆型偏微分方程的多解问题，使用局部极小极大边界元法(LMM-BEM)比经典的边界元法具有更大的优越性和可行性。它是通过定义一个子空间，使得所有的数值计算和分析可以仅仅依据泛函在边界上的信息有效的得到。
本文首先概述了边界元数值方法的发展及其研究现状，临界点定理的研究发展以及寻求椭圆型偏微分方程多解的研究现状。接着针对所研究的椭圆型偏微分方程，介绍了一些相关知识，包括特定的研究空间以及临界点定理。特定的研究空间即是Sobolev空间框架，并介绍了在这样的空间中建立的一系列的理论，如：Lebesgue积分，广义（弱）导数，嵌入定理，迹定理，Sobolev空间的Green公式等。然后详细介绍了局部极小极大边界元法(LMM-BEM)理论，包括它的数学背景，特征以及具体的算法步骤。同时以g(x，υ(x))=υ3(x)和a=1，Ω={(x1，x2)∶x21/4+x22/1＞1}为例，讨论用局部极小极大边界元算法(LMM-BEM)对这个具有非线性外部边界的椭圆型偏微分方程多解问题的具体数值求解过程。最后对全文进行了总结，并对解决非协调和Hamiltonian椭圆系统的新的数值方法和数值策略作出展望。