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原子核的形状相变是当前原子核结构和统计物理等领域共同关注的重要课题之一。本论文分别在相互作用玻色子模型（包括IBM-1和IBM-2）框架下以及在核子层次上（Dyson玻色子映射近似下的壳模型中）研究了原子核形状相变中的一些重要的理论问题，包括：寻找可以区分原子核的不同级次的形状相变的序参量、研究E（5）模型和X（5）模型的能谱统计性质以及从统计性质理解“临界点对称性”这个概念、分析IBM-2框架下各个相变过程中谱性质在临界点附近演化的行为、以及研究核子间有效相互作用对原子核的形状相及形状相变的影响并且在核子层次上系统地分析各个形状相变过程。
我们在IBM-1中提出了一系列不依赖于系统总玻色子数的可以区分不同相变级次的序参量。通过对IBM-1中各个形状相变过程中谱性质的分析，我们发现前人提出的可以区分一级和二级相变的序参量在系统的总玻色子数较大时会失效，即在不同相变级次的形状相变的临界点附近演化的行为不再有定性的差别。我们进而提出了一系列新的不依赖于总玻色子数的可以区分不同相变级次的序参量，主要包括一些B（E2）比值（如B（E2；41→21）/B（E2；21→01）、B（E2；02→21）/B（E2；21→01）等）和低激发态的能量比值EL1/E02（其中L为偶数角动量）。这些序参量在实验上都可以较方便地进行测量，而且它们在相交临界点附近演化的行为与相关的实验数据非常一致。
我们利用基于随机矩阵理论（RMT）的能谱统计方法，研究了E（5）模型和X（5）模型的能谱以及E2跃迁强度的统计性质。具体计算的统计量包括最邻近能级间距分布P（S）、谱硬度-△3（L）和E2跃迁强度分布P（y）。我们对不同角动量（包括偶数角动量和奇数角动量）的能级都进行了分析，并且计算了系统中相互作用强度对统计性质的影响。对于E（5）模型，所有的态的统计性质都非常地接近规则极限（Poisson统计）。对于X（5）模型，所有的态的统计性质在定性上也近似地规则，只是不同的角动量或者不同的相互作用参数对应的态的统计性质对规则极限有定量上的微弱的偏离。这些计算和分析说明，X（5）模型虽然可以近似描述U（5）-SU（3）相变临界点的低激发性质，但作为一个整体却不是一个很好的近似，因为具有规则的统计规律的X（5）模型不在IBM的U（5）对称性和SU（3）对称性之间的连线上，即掺杂有O（6）对称性的成分。因此，之前人们所提的“临界点对称性”这个概念并不很合适。另外，我们还提出一个假想，根据X（5）模型和IBM的统计性质推断，X（5）模型在IBM参数空间的对应位置可能在“AW弧”的中间部位。
我们在IBM-2框架下研究了原子核的形状相变过程中谱性质演化的行为。我们讨论了IBM-2中出现的所有相变过程，包括从长椭球形状（SUπv（3）对称性）到三轴形变形状（SU*πv（3）对称性）的相变以及从球形（Uπv（5）对称性）到各种形变形状（包括长椭球形、γ-不稳定形状（Oπv（6）对称性）和三轴形变）的相变。我们分析的特征物理量包括低激发态能级结构、系统波函数与极限下波函数的重叠度、d玻色子平均占有率、E2和M1跃迁的约化几率。对于从长椭球形到三轴形变（SUπv（3）-SU*πv（3））的相变，我们采用两种不同的方案进行了数值计算。比较两种方法的结果表明，SU*πv（3）对称性的高简并性对相变的临界点附近的行为没有定性上的影响。我们还比较了从球形到各种形变形状的不同级次的相变过程的临界行为，并且在IBM-2中检验了之前在IBM-1中发现的可以区分一级和二级相变过程的序参量的有效性。
我们还应用Dyson型玻色予映射近似方法在壳模型框架下对原子核形状相及形状相变进行了研究。通过比较原子核低激发态性质的一些特征量在壳模型和相互作用玻色子模型的动力学极限下的数值，我们给出了原子核的各个形状相在壳模型中的对应。我们着重分析了常见的几种核子一核子间的有效相互作用（包括单极对、四极对和四极.四极相互作用）对原子核的形状相（包括球形、长椭球形、扁椭球形和，γ-不稳定形状）的影响，并给出了形状相与各个有效相互作用强度间的对应关系。计算结果表明：原子核的球形相主要由单极对相互作用维持；长椭球形可以由四极对或者四极-四极相互作用引发；而扁椭球形状和，γ-不稳定形状只能在某些特殊情况下出现。而且，我们的计算表明，通过改变某些有效相互作用的强度就可以引发原子核的形状相变。具体地，在一个较强（强过前述的下限值）的单极对相互作用的基础上，增加四极对相互作用的强度可以驱动从球形到长椭球形的形状相变（我们还以Sm同位素为例在一定程度上验证了这个理论结果）；而在其它有效相互作用可以忽略的前提下，增加四极-四极相互作用的强度可以引发从扁椭球形到长椭球形的形状相变，并且γ-不稳定形状是这个相变的临界点。利用我们得到的形状相在壳模型中的对应，以从球形到γ-不稳定形状的相变为例，我们说明利用壳模型可以得到相互作用玻色子模型揭示的原子核形状相变的各种特征。