【摘 要】
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李理论（即研究李群、李代数及其应用的理论）是现代数学的一个重要分支,其中又以矩阵李群为代表.顾名思义,矩阵李群既是李群又是矩阵群.这是一类在数学和物理中广泛出现的李群,包括一般线性群、正交群、刚体运动群、辛群、酉群等等.其中,刚体运动群SE（3）是机器人学的核心概念之一,该领域主流研究中使用的旋量代数就是SE（3）的李代数的子代数.本文主要研究了 SE（3）的黎曼几何、其上的曲线论以及其子流形作用
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李理论（即研究李群、李代数及其应用的理论）是现代数学的一个重要分支,其中又以矩阵李群为代表.顾名思义,矩阵李群既是李群又是矩阵群.这是一类在数学和物理中广泛出现的李群,包括一般线性群、正交群、刚体运动群、辛群、酉群等等.其中,刚体运动群SE（3）是机器人学的核心概念之一,该领域主流研究中使用的旋量代数就是SE（3）的李代数的子代数.本文主要研究了 SE（3）的黎曼几何、其上的曲线论以及其子流形作用于平面曲线段生成的曲面族的包络的几何性质.此外,还研究了 SE（2）上的驻留加速度曲线以及三维Heisenberg群中具有非零常平均曲率的直纹面.首先,我们将SE（3）视为12维欧氏空间的子流形,推导其结构方程及黎曼曲率张量的表达式,并给出SE（3）中曲线的Frenet型公式以及各阶协变曲率的表达式.此外,我们构造了 SE（3）中某些种类的最高阶协变曲率为零的曲线,并讨论了曲线的旋转分量和平移分量的不同行为对其本身的影响.其次,我们研究了 SE（3）的2、3维子流形及其在包络理论中的应用.我们先研究了李代数se（3）的2、3维子代数的几何结构,并应用指数映射构造相应的SE（3）的子流形.而后,我们研究了不同子流形中的曲线作用于平面曲线段（主要是直线段和圆弧）生成的多参数曲面族的包络的几何性质.我们给出不同包络的高斯曲率和平均曲率的表达式,并画出图像描述包络过程.此外,我们的研究结果表明给定曲线族的最终包络与关于不同参数的包络顺序是无关的.再次,我们研究了 SE（2）中的驻留加速度曲线.根据已有结论,SE（2）中的一条曲线G（t）是驻留加速度曲线当且仅当V=GXG-1,其中V=GG-1,而X是常向量.在此约束条件下,运动的转角至多是变量的3次函数,主要的难点在于求解平移变量.我们给出转角为2次函数和不包含1、2阶项的3次函数的曲线为驻留加速度曲线的条件.得到的结论是对现有结果的一个扩展.最后,我们研究了三维Heisenberg群中的非零常平均曲率直纹面.根据测地母线与纤维的位置关系,我们将问题分为几种情况.通过构造局部地参数化,讨论非零常平均曲率直纹面的存在性.对于存在的情况,我们给出直纹面具体的参数表达式,并讨论其在R3中的曲面类型.我们最终得到两类直纹面,其中一种是圆柱面,另一种可以视为R3中的一条柱面螺线的螺旋运动生成的曲面.
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