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随机微分方程作为数学领域一个极为重要的研究方向,在生产生活中占有举足轻重的地位。由于随机微分方程自身的复杂性,通常难以获得其真解,因而对其进行数值求解就显得尤为重要。尽管随机微分方程的显式数值方法形式简单、计算效率高,但是现有的绝大多数显式数值方法稳定性差,不能很好的求解刚性随机微分方程。本文讨论了两类基于显式随机Runge-Kutta方法进行改进的显式数值方法。这两类数值方法不但保持了原随机Runge-Kutta方法均方1阶收敛的良好收敛性,而且克服原随机Runge-Kutta方法稳定性差的缺陷,表现出了良好的稳定性。第一类数值方法是在随机Runge-Kutta方法基础上,添加误差校正项来实现的,称为误差校正随机Runge-Kutta方法(ECSRK方法)。本文进一步证明了该数值方法的均方收敛阶为1.此外,将ECSRK方法应用到线性检验方程,分析了该数值方法的均方稳定性和渐近稳定性,分别给出了均方稳定和渐进稳定的条件,描绘出其稳定区域,并与原随机Runge-Kutta方法进行了比较。研究结果表明,误差校正随机Runge-Kutta方法的均方稳定性和渐进稳定性都远优于原随机Runge-Kutta方法。将求解常微分方程的指数Runge-Kutta方法的思想推广到求解随机微分方程中,得到了第二类数值方法——指数随机Runge-Kutta方法。本文应用It?公式将随机微分方程的真解展开,分析了指数随机Runge-Kutta方法的误差余项,证明了该方法是均方1阶收敛的。在稳定性方面,指数随机Runge-Kutta方法是无条件均方稳定的,即对任意给定步长h?0,指数随机Runge-Kutta方法都是均方稳定的。并且,指数随机Runge-Kutta方法的渐近稳定区域也远远大于原随机Runge-Kutta方法。此外,本文的大多数的理论结果和结论都有相应的数值算例支持。