【摘 要】
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空间点过程是指在空间域Rd上生成的一组随机点集,点过程的一次实现称为点模式.Poisson点过程是点模式数据建模中的一类常用模型,其统计规律通过强度函数进行刻画.实际应用中的大多数点模式数据其强度函数随位置变化而不同,呈现异质性,很难用既定的参数化模型进行刻画.因此,对异质Poisson点过程的强度函数进行非参数统计推断是一个重要且具有实际意义的问题.通过将异质Poisson点过程的对数强度采用薄
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空间点过程是指在空间域Rd上生成的一组随机点集,点过程的一次实现称为点模式.Poisson点过程是点模式数据建模中的一类常用模型,其统计规律通过强度函数进行刻画.实际应用中的大多数点模式数据其强度函数随位置变化而不同,呈现异质性,很难用既定的参数化模型进行刻画.因此,对异质Poisson点过程的强度函数进行非参数统计推断是一个重要且具有实际意义的问题.通过将异质Poisson点过程的对数强度采用薄板样条基展开,并对薄板样条基格点与基系数进行先验设定,本文将强度函数的非参数推断问题转化为贝叶斯层次模型下样条基系数的参数估计问题.从而,在贝叶斯框架下,给出了一种异质Poisson点过程的新型非参数推断方法.对于薄板样条基的格点位置,本文考虑了两种不同的先验设定方法:（1）对观测区域进行划分后在每个划分子区域上选定一个固定点;（2）对观测区域进行划分后每个位置点服从划分子区域上的均匀分布.对于薄板样条展式中的基系数,采用具有平滑性超参数的多变量高斯分布作为先验分布,而对于其中的平滑性超参数赋予弱信息先验.在先验分布设定后,通过联立Poisson点过程似然函数求得了参数与超参数的联合后验分布,并设计了一种HMC-within-Gibbs抽样算法从模型参数的后验分布中进行抽样.通过引入二次损失,Kullback-Leibler损失,Hellinger损失三类损失函数,将异质Poisson对数强度函数的推断问题视为贝叶斯决策问题,在最小化后验风险准则下得到了对数强度函数的贝叶斯解.理论推导发现:在二次损失函数与Kullback-Leibler损失函数下得到的对数强度的贝叶斯解是一致的,都为后验均值估计;而在Hellinger损失函数下所得到的对数强度贝叶斯解是由两个后验矩条件所决定的积分方程的解.通过将积分方程组转化为两目标的优化问题,本文设计了Hellinger损失函数下对数强度贝叶斯解的计算算法.在使用HMC-within-Gibbs抽样算法从模型参数的后验分布中得到参数模拟值后,利用统计决策理论得到的贝叶斯解便可实现对数强度的估计.选取两种不同的强度模型（一种是恒定不变的常数强度,另一种是随着观察区域面积变化而变化的指数型强度）,通过模拟试验发现:（1）不论是常数强度模型还是指数型强度模型的情况,在样条基格点变动先验下所得估计的均方误差和平均绝对误差都比样条基格点静止情况下的要小;（2）利用最小化由Hellinger损失决定的后验风险得到的对数强度估计能够在一定程度上减小均方误差和平均绝对误差,但是估计的标准差相比后验期望估计更大;（3）本文所提出的对数强度贝叶斯估计明显的优于经典的核估计方法.使用光滑薄板样条对空间曲面进行建模是空间非参数回归分析中的一种常用方法.但光滑薄板样条需要将原始数据作为格点进行薄板样条基展开.对于点模式数据,其观测数据的个数和位置都具有随机性,直接采用观测点作为格点位置不仅可能会带来模型设定的维数灾难问题,而且还会因为观测点的稀密不均影响模型对数据的拟合效果.本文将观测区域划分为多个子区域,并在这些子区域中选定或随机产生一个位置作为基函数格点位置.在此基础上通过构建贝叶斯分层模型并设计后验分布抽样方法实现了异质Poisson点过程强度的估计.本文所提出的强度函数估计方法具有较好的边界拟合效果,对于其它隐含数据模型中空间曲面的统计推断具有重要参考价值.
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