【摘 要】
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长期以来,求解微分方程是一个困难却是非常重要的研究课题,很多的学者对这方面做了大量出色的工作,发展了很多种有效地求解方法,但由于非线性微分方程本身的复杂性,这些方法不能够解决所有的问题。在构造方程精确解析解的工作中,推广的对称群法和推广的子方程展开法具有很重要应用。由这两种方法能够得到更加丰富的解,得到更具有物理意义的新解。本文就是基于以上两种方法研究讨论了一些重要的非线性方程的精确解。 论
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长期以来,求解微分方程是一个困难却是非常重要的研究课题,很多的学者对这方面做了大量出色的工作,发展了很多种有效地求解方法,但由于非线性微分方程本身的复杂性,这些方法不能够解决所有的问题。在构造方程精确解析解的工作中,推广的对称群法和推广的子方程展开法具有很重要应用。由这两种方法能够得到更加丰富的解,得到更具有物理意义的新解。本文就是基于以上两种方法研究讨论了一些重要的非线性方程的精确解。 论文安排如下： 第一章简要介绍了求解非线性数学物理方程精确解几种经典的方法。 第二章基于推广的对称群的基本理论,把它作用变系数的（3+1）维非线性薛定谔方程,得到与原方程不变的对称群及有限变换,从而通过标准的（3+1）维薛定谔方程的解构造其他变系数的（3+1）维非线性薛定谔方程的解。 第三章首先基于推广的子方程展开法,推导（2+1）维广义的变系数的Gross-Pitaevskii方程的精确解并讨论了非线性动力学中碎裂的孤子在不同调制下的管理；其次利用推广的子方程展开法解决了变系数非线性三次-五次薛定谔方程的精确解问题。
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