【摘 要】
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偏微分方程理论在应用数学和物理学科领域中得到了广泛的应用.许多学者也提出了大量关于偏微分方程的理论和数值解法,如分离变量法,有限差分法,傅里叶谱方法,有限元方法等.近年来,分数阶偏微分方程备受关注并且在应用数学和物理数学方程学科领域中被广泛应用.但是由于一般情况下无法直接解得分数阶偏微分方程的解析解,因此应用数值算法求解分数阶偏微分方程显得至关重要.保结构算法中多辛方法和平均向量方法能够很好地求解
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偏微分方程理论在应用数学和物理学科领域中得到了广泛的应用.许多学者也提出了大量关于偏微分方程的理论和数值解法,如分离变量法,有限差分法,傅里叶谱方法,有限元方法等.近年来,分数阶偏微分方程备受关注并且在应用数学和物理数学方程学科领域中被广泛应用.但是由于一般情况下无法直接解得分数阶偏微分方程的解析解,因此应用数值算法求解分数阶偏微分方程显得至关重要.保结构算法中多辛方法和平均向量方法能够很好地求解偏微分方程的数值解并且很好地保持偏微分方程的一些性质,如多辛守恒和能量守恒特性.本文我们将研究保结构算法中多辛方法和平均向量场方法求解分数阶Klein-Gordon-Zakharov方程.首先给出分数阶拉普拉斯算子对不同函数的定义,再研究Riesz空间分数阶导数和分数阶拉普拉斯算子的关系,利用傅里叶谱方法和多辛方法构造分数阶Klein-Gordon-Zakharov方程的多辛格式,并利用得到的方程的新格式进行数值模拟.其次简单介绍了偏微分方程哈密顿系统的平均向量场方法理论,再利用二阶平均向量场方法对分数阶Klein-Gordon-Zakharov方程进行离散.并证明得到的新格式具有保能量性质,在一定的初始条件下利用得到的新保能量格式对分数阶Klein-Gordon-Zakharov方程进行数值模拟,最后分析方程的数值模拟结果和验证新格式的保能量性质.在第二章中,主要研究的是分数阶拉普拉斯算子L=-（-δ）α/2的定义,以及分数阶拉普拉斯算子L=-（-Δ）α/2在不同情况下所对应不同形式的定义和一些简单的性质.其次再介绍Riesz空间分数阶导数的定义和证明分数阶拉普拉斯算子L=-（-Δ）α/2在不同函数下的形式与Riesz空间分数阶导数的等价关系.这些定义与性质也被应用在第三,四章分数阶Klein-Gordon-Zakharov方程数值解求解中.在第三章中,首先利用傅里叶拟谱方法对分数阶Klein-Gordon-Zakharov方程分数阶导数离散近似,再利用多辛方法构造出分数阶Klein-Gordon-Zakharov方程新的多辛格式,最后利用新的多辛格式数值模拟方程孤立波的演化行为.数值结果表明分数阶Klein-Gordon-Zakharov方程的新格式可以精确地保持方程的保结构特点.在第四章中,利用傅里叶拟谱方法对分数阶Klein-Gordon-Zakharov方程的分数阶导数进行近似离散得到了方程的半离散系统.对该半离散系统,在时间方向上再利用二阶平均向量场方法对分数阶Klein-Gordon-Zakharov方程近似离散得到了新的格式,并且证明了新格式的保能量性质,最后利用新的保能量格式数值模拟方程孤立波的演化过程.从数值模拟结果可知分数阶Klein-Gordon-Zakharov方程的新格式能够很好的模拟孤立波的演化行为并准确地保持方程的能量守恒.
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