由于时滞系统能够更精确地描述各类系统的动态演化过程,所以时滞系统的稳定性分析一直都是众多领域研究的热点问题。随着国内外学者不懈的努力,目前涌现出了很多有价值、有意义的研究成果,然而关于时滞系统稳定性的完善的、透彻的研究还远远没有达到,所以还需要投入更多的精力从广度和深度上做更进一步深入地分析。对于线性时不变时滞系统而言,系统特征根的分布决定了系统本身的稳定状态。然而,由于特征方程中指数项的存在使得时滞系统具有无穷多个特征根。目前用来解决这一问题的策略主要有两种。其一,类奈奎斯特法(Nyquist-like algorithm),直接计算特征方程在复右半平面的根的个数；其二,τ分解法(τ-decomposition method),按照不稳定根的个数不同对参数空间进行划分,得出稳定的参数区域。本文是以时滞系统的特征方程为研究对象,利用τ分解方法分析根轨迹的分布对时滞系统稳定性的影响。τ分解方法的核心问题主要有两部分内容组成,分别是稳定性切换边界的计算和边界处穿越方向的确定。从这两个主要论题出发,我们做了从理论完善到理论应用方面的一些工作。论文的主要内容如下：1.针对含有比例关系时滞的线性时不变系统,分析了系统多重纯虚根的渐近行为对系统稳定性的影响,给出了系统的时滞稳定性区间。多重虚根是此类系统的一种奇异情况,因此,我们引入代数几何中用于代数方程奇异分析的经典工具—牛顿图(Newton Diagram),来给出多条根轨迹的皮瑟级数(Puiseux Series)展开。与此同时,维尔斯特拉斯预备定理(Weierstrass Preparation Theorem)也被应用到了对特征方程的奇异分析当中。依照这个可以将解析函数约化成代数方程的普适定理,系统的特征多项式在纯虚根处被约化成了代数方程,再结合牛顿图示法,多重根附近的根轨迹可以被相应地计算出来。2.研究了时滞对一类具有环状拓扑结构时滞神经网络动态特性的影响,提出了此类系统的稳定性判据以及HOPF分叉值的计算方法。首先将系统在平衡点处进行线性化,对于所得的准特征多项式进行分析。接着,从系统特征方程自身的特点出发,利用几何向量加法的直观性,证明了此类系统最多只能有一对纯虚根。利用这个良好性质以及系统的初始稳定性(Initial Stable),系统被划分成了时滞依赖稳定,时滞依赖不稳定,时滞独立稳定和时滞独立不稳定的的四大类型。简而言之,系统仅仅对应一段时滞稳定性区间。最后,结合非线性分析中的常用结论,HOPF分叉定理,还给出了系统产生HOPF分又时的临界时滞值。3.针对一阶含时滞不稳定PID控制过程,研究了时滞与控制器参数的对应关系,划分了全部PID参数可镇定域的范围。文章从含有待设计PID控制器参数的闭环特征方程出发,由于系统特征方程的阶次较低,证明了系统对应的纯虚根的个数最多只有一个。再结合初始稳定的判定条件,PID空间被划分成了四部分：时滞依赖稳定域,时滞依赖不稳定域,时滞独立稳定域和时滞独立不稳定域。其中,针对每组时滞依赖稳定域中的控制器参数,我们提出了显式的公式来计算最大可允许时滞的界。最终确定了PID控制器的全部可镇定域,实现了PID控制器参数以及时滞参数的四维空间的可镇定域划分。4.研究了一类含比例关系时滞的线性时不变系统的最终稳定性问题。首先,系统的特征准多项式被分解成子式相乘的形式。接下来,解决了一系列关于这些子式的问题。1)纯虚根处的穿越方向可以有对应的频域扫特性曲线表征,2)穿越方向可以依照纯虚根在所在子式中的幅值的大小排序确定,3)如果系统至少存在一个纯虚根的话,那么系统是最终不稳定的。结合这些性质,一个简单易用的频域扫方法被提了出来,将纯虚根的计算和穿越方向的确定归结成一个问题,并且不需要经过任何计算。这个方法可以被用来解决时滞系统的最终稳定性问题。最后,当系统出现满足一定条件的多重纯虚根时,文章也提出了相应的稳定性判据。5.针对一类含比例关系时滞的分数阶系统,研究了此类系统的有界输入输出(BIBO)稳定性问题,给出了系统的时滞稳定性区间。分数阶时滞系统的(BIBO)稳定性问题可以用系统特征根的分布来表征,所以简单有效的τ分解方法可以被用来研究此类系统。通过变量代换,证明了频域扫方法的有效性,即,穿越频率和穿越方向可以用曲线同时表征。另外,对于中立系统的稳定性条件也被纳入到了频域扫的分析框架之下。最终实现了分数阶时滞系统的时滞稳定性区间的完整求解。