本文应用变分方法讨论一类Schr（?）dinger算子的特征值问题,并获得了具有位势井的非线性Schr（?）dinger方程和双重调和方程多解的存在性,特别是变号解的存在性.全文共分四章,主要内容如下:在第一章中,我们考虑下列特征值问题其中λ,α∈R,假设g（x）满足下列条件:（G）g∈L^∞（R^N,R）,存在一个有界光滑区域Ω（?）R^N使得对给定的λ＞0,我们主要讨论了上述特征值问题的第二特征值α₂（λ）的存在性及其性质,并且给出了第二特征值的几种等价定义.在第二章中,我们改进了一个用下降流不变集方法得到的多临界点存在性定理,这是本文寻求渐近线性椭圆方程的多解,特别是变号解的主要工具之一.在第三章中,我们研究具有位势井的非线性Schr（?）dinger方程多解的存在性,其中V_λ（x）=1+λg（x）,λ＞0是一个参数.假设g（x）满足上述条件（G）.非线性项f是渐近线性且在无穷远处的渐近常数是1+α.我们利用第二章中改进的多临界定理和集中紧性原理证明了当λ和α满足适当的关系时,这个问题存在一个变号解,一个正解和一个负解.在第四章中,我们考虑下述双重调和Navier边值问题其中Ω（?）R^N是有界光滑区域,c∈R是一个参数,非线性项f在零点和无穷远处都是渐近线性的.利用变分方法和多临界点定理,我们也获得了该问题的变号解,正解和负解的存在性.