密码函数在对称密码体制中占据着非常重要的位置,其安全性依赖于密码函数的某些密码学性质,如置换性、平衡性、弹性、非线性度、代数次数、代数免疫度和差分均匀度等。而这些密码学性质都是为了抵抗某些攻击手段而产生,如区别攻击、相关攻击、流密码中的快速相关攻击和最佳仿射逼近攻击以及分组密码中的线性攻击、Berlekmap-Massey攻击、代数攻击和差分攻击等。由于这些密码学性质彼此制约,故构造和分析具有置换和高非线性度性质的密码函数是对称密码学的一个热点研究课题。本文主要开展对几类奇特征有限域上的置换多项式、几类具有Niho指数的置换多项式、几类Fpn上的置换多项式和完全置换多项式、Bent函数的构造以及具有高非线性度的弹性布尔函数和弹性向量布尔函数的构造等问题的研究,取得以下研究成果:1)利用分段构造法,对于一个满足(?)的整数s,构造了六类形如(axqm-sbx+δ)s-L(x)的置换多项式。其次,通过确定有限域上一些特殊方程的解的数目,对于满足 s(pm-1)≡pm-1(mod pn-1)或s(pk/2m-1)≡pkm-1(mod pn-1)的整数s,分析了三类形如(aTrmn(x)+δ)s-L(x)的多项式的置换性质。2)通过分析有限域F32m上的一个七次和五次Dickson多项式,部分证明了李康荃等人提出的两个猜想并构造了几类F32m上具有Niho指数的置换三项式。其次,研究了一类F52m上的置换三项式,扩展了伍高飞等人的结果,并给出了很多其他的扩展结果。除了在奇特征有限域上构造置换三项式外,研究了一类偶特征域上三项式的置换性质。最后,通过研究特定的二次和三次方程在单位圆上的根分布,构造了一类F2n上的置换四项式。3)利用AGW准则以及确定有限域上一些特定方程的解的数目来研究多项式的置换性质,构造了九类Fpn上形如(xpm-x+δ)S1+(xpm-x+δ)S2+x的置换多项式。其次,分析了五类Fp2m上形如axpm+bx+h(xpm-x)的多项式的完全置换性质。这些是对李丽莎等人一些前期工作的进一步研究与补充。4)针对传统的M-M类Bent函数构造,分别用多个线性函数的乘积和三个线性函数的乘积替代原有的任意的m元布尔函数,通过计算其Walsh谱构造出新的Bent函数。其次,利用了二项式对合函数以及具有线性转换器的函数构造了满足一定条件的三个两两不同的置换,基于此获得了新的Bent函数并计算了其对偶函数。最后,利用任意两个函数的两个线性转换器,给出了满足传统M-M类Bent函数构造的置换,从而得到新的Bent函数。5)基于级联不同的弹性函数的方法,利用了不同的低阶弹性函数去构造更高阶的弹性函数,获得了一大类具有几乎最优的非线性度和最优代数次数的弹性布尔函数。其次,通过引入不相交线性码和级联不同的弹性向量函数,利用多个低阶弹性向量函数去设计更高阶的弹性向量布尔函数,得到了一大类具有严格几乎最优非线性度的高代数次数的(n,m,r)向量布尔函数。