本学位论文致力于研究Lp-空间中凸体几何的度量不等式和极值问题，隶属于Lp-Brunn-Minkowski理论(又称为Brunn-Minkowski-Firey理论)领域，该领域是近十多年来在国际上发展非常迅速的一个几何学分支.本文主要利用Lp-Brunn-Minkowski理论的基本概念、基本知识和积分变换方法，研究了Lp-空间中凸体几何领域诸多几何体：L2-投影体，Lp-截面体，混合截面体，混合新几何体г-p，iK以及由我们新引入的Lp-仿射表面积、Lp-混合均质积分、Lp-混合仿射表面积所构成的度量不等式和极值问题. 利用Ⅱ2K是一个中心在原点的椭球这一特殊性质，在第二章给出了投影不等式Petty猜想的Lp-形式(p=1时即是Petty投影不等式猜想本身)在当p=2时，其逆形式的两个结果，这些结果是对投影不等式Petty猜想的完善，同时建立了L2-投影体Ⅱ2K与标准化下经典投影体ⅡK的包含关系，还解答了一个约束最小化问题. 在第三章中，我们依据Gardner和Giannopoulos，V.Yaskin和M.Yaskin，C.Haberel和M.Ludwig提出的概念，合理地用不同的符号重新定义了Lp-截面体IPK.对这一几何体，给出了算子Lp的线性等价性，及其当p≤-1时的单调性结果，同时将Lp-截面体和Lp-对偶混合均质积分W-p，i(K，L)相结合，在正规化Lp-径向加或者Lp-径向线性组合的条件下，分别建立了关于Lp-截面体的对偶均质积分形式的Brunn-Minkowski不等式及其隔离加强形式. Lutwak推广了Winterniz单调性问题，即得到：假设K ∈Fn，且E是一个椭球，以及K的投影体的体积不超过E的投影体的体积，那么Ω(K)≤Ω(E)成立.在第四章，利用在Lp-混合体积和Lp-广义仿射表面积之间所建立的等价关系，我们把上述Lutwak的结果推广到LP-形式，而且作为这种等价关系的应用，建立了Lp-混合均质积分形式的Aleksandrov的投影定理和Petty-Schneider定理. 在凸几何中，凸体的极体是一个非常重要的研究对象.在最重要的仿射等周不等式中，Blaschke-Santaló不等式和Petty投影不等式是两个与凸体的极体密切相关的不等式，可是对于星体而言，其极体却并不一定存在.在第五章，利用Moszynska 介绍的星对偶概念，将混合截面体的星对偶与对偶均质积分结合起来，在调和p-组合或者p-径向线性组合的条件下，分别建立了关于混合截面体的星对偶的对偶均质积分形式的Brunn-Minkowski不等式. 根据Lutwak，Yang和Zhang提出的新几何体г-pK，我们在第六章引入混合新几何体г-p，iK的概念--新几何体是它的特殊情形.对混合新几何体г-p，iK，我们获得了算子г-p，i的五个基本性质，建立了г-p，iK的体积v(г-p，iK)与凸体K的体积V(K)之间的关系，以及关于混合新几何体г-p，iK的Shephard类问题. 此外，我们还在第七章研究了Lp-混合仿射表面积和Lp-质心体的相互关系，获得了Busemann-Petty仿射质心不等式的广义Lp-形式，得到了关于Lp-混合仿射表面积的Blaschke-Santaló不等式，同时，获得了对偶Urysohn不等式的一般形式，最后，利用p-Blaschke平行体的定义，我们建立了与Marcus-Lopes，Bergstrom和Ky Fan不等式的一种类似形式.