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众所周知,Gauss超几何函数F(a,b;c;Γ)在特殊函数中具有极为重要的地位,它与许多其他类型的特殊函数相关,其性质和Γ-函数,ψ-函数以及Beta函数B(a,b)密切相关。Ramanujan常数R(a)不仅在零平衡的Gauss超几何函数F(a,1-a;1;x)的研究中起着至关重要的作用,在特殊函数的一些其它领域也是必不可少的。例如,在对广义椭圆积分Ka(r)和εa(r),广义模方程的解ψK(a,r)以及由ψK(a,r)定义的λ(a,K)和ηK(a,t)等特殊函数分析性质的研究中经常用到Ramanujan常数R(a)。但R(a)的已知性质尚不能满足应用中的需要,而揭示R(a)性质的主要障碍之一是缺乏行之有效的研究工具。不少研究工作表明,R(a)的级数展开是重要而有效的研究工具。本文的主要目的是建立Ramanujan常数R(a)的不同类型级数、进一步揭示Ramanujan常数与Beta函数的紧密关系,并通过研究R(a)与一些初等函数组合的性质,获得R(a)的一些重要性质。 本文由以下三章构成: 第一章,主要介绍了本文的研究背景,并引入本文所涉及的一些概念、记号和部分已有结果。 第二章,我们首先建立了Ramanuj an常数R(a)、B(a)=B(a,1-a)的不同类型的级数展开式和R(a)-B(a)的幂级数展开式,并运用这些结果得出了Riemanzeta函数满足的一些等式。 第三章,通过研究Ramanujan常数R(a)与某些初等函数组合的分析性质,获得了R(a)的一些渐近精确的不等式,并改进了某些已有结果。