【摘 要】
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稀疏优化问题在图像处理、压缩感知、机器学习等领域有着广泛的应用.众所周知,无论在理论还是算法方面,l1-极小化问题都是研究稀疏优化的重要工具之一.本文主要针对l1-极小化问题鞍点的存在性进行理论分析,得到鞍点的存在性理论;通过问题重建,得到1-Bit压缩感知模型的稳定性条件.一方面,我们研究了l1-极小化模型的鞍点存在性理论.一个关键点是要克服l1-范数不光滑.为此,我们通过引入新的变量,将l1-
【基金项目】
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国家自然科学基金面上项目（No.11771255,11801325）； 山东省青年创新团队项目（No.2019KJI013）；
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稀疏优化问题在图像处理、压缩感知、机器学习等领域有着广泛的应用.众所周知,无论在理论还是算法方面,l1-极小化问题都是研究稀疏优化的重要工具之一.本文主要针对l1-极小化问题鞍点的存在性进行理论分析,得到鞍点的存在性理论;通过问题重建,得到1-Bit压缩感知模型的稳定性条件.一方面,我们研究了l1-极小化模型的鞍点存在性理论.一个关键点是要克服l1-范数不光滑.为此,我们通过引入新的变量,将l1-极小化问题转化为目标函数为线性函数的优化问题.基于一种新的增广拉格朗日函数,建立了原问题与转换后问题的鞍点关系.它允许我们通过二阶充分条件来建立局部鞍点.在原问题有唯一解或者多解的情况下分别建立全局鞍点存在性条件.特别地,在原问题多解的情况下,我们需要对原问题进行扰动分析.另一方面,1-Bit压缩感知（CS）是一类重要的稀疏优化问题.以此作为研究背景,我们分别考虑了在无噪声及带二次约束的噪声约束下的1-Bit压缩感知（CS）的稳定性理论.为此,我们引入了转置传感矩阵（TA）的受限制的弱的值空间性质的新概念.利用l0-与l1-规划之间的关系将目标函数转化为l1-极小化模型,借用线性等式和不等式约束重建了带有符号函数的压缩感知模型,并将含有噪声的二次约束用多面体逼近到任意精度水平.最后将1-Bit CS转化为一个带有线性约束优化问题进行稳定性理论分析.结果表明,受限制的弱的值空间性质是1-Bit CS在无噪声情况下具有稳定性的充分必要条件,而在噪声下的充分条件.本文结构如下:第一部分主要描述l1-极小化问题、鞍点存在性以及1-Bit压缩感知的研究背景、国内外的研究现状、预备知识以及主要创新点;第二部分给出了l1-极小化问题鞍点存在性;第三部分给出了1-Bit压缩感知模型在稀疏数据重建中的稳定性分析;第四部分是总结与展望,在总结前文工作的基础上阐述了后续进行的工作和研究.
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