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1设G是一个有限群，S是G的一个子集(可以含G的单位元).Bi-Cayley图BC(G，S)是一个二部图：其顶点集为G×{0，1}，而边集为{{(g，0)，(sg，1)}：g∈G，s∈S}.
设X是一个图，称X的一个圈是Hamilton圈，如果它包含X的所有顶点.设X是一个图，|V(X)|＝n.称图X是泛圈图，如果X中含有长为k(k＝3，…，[，n)的圈.
设X是一个图，|V(X)|＝n.称图X是偶泛圈图，如果X中含有长为2k(k＝2，3，…，[n/2])的圈.
称Bi-Cayley图BC(G，S)的边{(g，0)，(sg，1)}为s边，其中g∈G，s∈S.称Bi-Cayley图BC(G，S)是s边传递的，若对BC(G，S)的任意两条s边e1、e2，都存在一个BC(G，S)的自同构映射φ，满足φ(e1)＝e2.本文证明了以下结论：
1.(引理1)设G是有限交换群，S()G，S-1＝S，S＝{s1，s2，s3，…，sn}，S＝{e，s2s1，s3s1，…，sns1}，其中s1是二阶元.则(S)-1＝S且BC(G，S)≌BC(G，S).
2.(引理2)设G是有限交换群，S()G，e∈S，Bi-Cayley图BC(G，S)连通当且仅当〈S〉＝G.其中〈S〉表示由S生成的群.
3.(引理4)设G是有限交换群，S()G，a∈S，S1＝S{a}，G1＝〈S1〉，k是使ak∈G1的最小正整数.对i＝0，1，2，...，k-1定义映射ψ(1)i：(x，0)→(aix，0)，(x，1)→(aix，1)；ψ(2)i：(x，0)→(aix，1)，(x，1)→(aix，0)，x∈G.则ψ(1)i，ψ(2)i都是从BC(G1，S1)到BC(G，S)的导出子图[aiG1×{0，1}]的同构映射.
摘要：24.(引理5)设G是有限交换群，S()G，s∈S，则BC(G，S)的所有s边是传递的.
5.(定理1)G是有限交换群，|G|≥2，S()G，S含二阶元或单位元，S-1＝S，则连通的Bi-Cayley图BC(G，S)一定有Hamilton圈，且BC(G，S)中的任意一边都含在它的某个Hamilton圈中.
6.(定理2)G是有限交换群，S()G，|S|≥3，S-1＝S且S含单位元或二阶元，则连通的Bi-Cayley图BC(G，S)是偶泛圈图.