众所周知，仿射Kac-Moody代数及其表示在数学和物理的许多分支中都有重要应用。仿射Kac-Moody代数可看成从一维环面到复数域上有限维单李代数的多项式映射的泛中心扩张，也就是说，它们以单变量的罗朗多项式环为其坐标代数。单变量的罗朗多项式环的导子李代数称为Witt代数，而Witt代数的泛中心扩张称为Virasoro代数。Virasoro代数的表示在仿射Kac-Moody代数的可积模的构造及其结构分析和可积模的分类中扮演着重要的角色(见[GoO]和[GoP])。同时，Virasoro代数的Unitary表示在moonshine module以及顶点算子代数的构造和结构分析中也有许多应用（见[FLM]）。此外，Virasoro代数的表示在理论物理的string理论中也得到了广泛研究（见[GSW]），事实上，Virasoro代数蕴含在任何具有共形不变量的2维时空理论中。由此可见，李代数的坐标代数的导子李代数及其中心扩张在李代数的表示的研究中起着重要作用，同时它自身在数学和理论物理中也有许多应用。　　作为仿射Kac-Moody代数的自然推广，文[H-KT]引进了扩张仿射李代数(EALAs)的概念。随后，文[BGK]和文[AABGP]的作者对扩张仿射李代数进行分类时，发现它们不但涉及到多变量的罗朗多项式坐标代数，还涉及到特殊的交错代数、Jordan代数及量子环面坐标代数。　　量子环面包含了多变量的罗朗多项式环为其特例，同时量子环面的导子李代数还包含了一些特殊的Jordan代数的导子李代数为其子代数（见[T2]）。此外，toroidal李代数和以量子环面为坐标代数的EALAs上的可积模的分类问题可转化为其坐标代数上的导子李代数的模的分类（见[E8]、[EJ]和[E3]）。因此，本论文的研究兴趣始终集中在对量子环面的导子李代数及其子代数的结构和表示的研究上。全文分两部分共五章，第一部分研究量子环面上导子李代数的表示，第二部分研究两个变量的量子环面上Skew导子李代数的结构;第一部分由三章构成，而第二部分由两章构成。下面我们更加详细地阐述各章的主要内容。　　用Der(Cq)表示多变量的量子环面Cq上的导子李代数。在第一章，我们构造了从gld-模到Der(Cq)-模的一族函子Fαg，该构造方法包含了沈光宇在[S1]中所构造的部分模和Larsson在[L1]及Rao在[E2]所构造的模。当量子环面矩阵的所有元素都是单位根时，我们还给出了权空间维数有限的Der(Cq)-模的结构的完整刻划。我们证明了与支配整权ψ对应的有限维不可约gld-模V（ψ，b）在函子Fαg下的像Fαg（V（ψ，b）），在（ψ，b）不等于（δk，k）或(0，b)时，都是完全可约的。而对（ψ，b）等于（δk，k）或(0，b)的情形，我们则给出Fαg（V（ψ，b））的不可约商模。本章的结果包含了Rao文[E2]中的结果。这些结论已发表在Journal of Algebra,275(2004),250-274。　　在第二章，我们引进量子环面上skew导子李代数Lq的概念，并构造了从sld-模到Lq-模的一族函子Fαg。接着，我们研究两个变量的量子环面上的skew导子李代数Lq的模Fαg(V)。首先，我们给出Fαg(V)的结构的完整刻划;然后证明了下述结论:　　对任意有限维sl2-模V和W，如果q是p次本原单位根，那么Lq-模Fαg1(V)与Fβg2(W)同构的充要条件是α-β∈Γ，g2(s)≡f(α-β，s)g1(s)，(V)s∈Γ而且sl2-模V与W同构。　　由于两个变量的量子环面上的skew导子李代数Lq包含了Virasoro-like代数和它的q-类似为其特例，故我们的结果包含了赵开明和张贺春在文[ZZ]中的部分结果。这些结果即将发表在《数学进展》（见[LiT2]）。　　在第三章，我们解决了q-类似Virasoro-like代数上中心作用非平凡的Harish Chandra模的分类问题，主要证明了下列几个结论:　　(1)q-类似Virasoro-like代数上的任意一个中心作用非平凡的Harish-Chandra模都是广义高权模。　　(2)对q-类似Virasoro-like代数上的任一非平凡广义高权模V，V是Harish-Chandra模的充要条件是:存在He1上一个满足定理3.2.11条件的线性泛函ψ使得V(≌)(M)(e1，e2，A(ψ))。　　(3)对q-类似Virasoro-like代数上的任一中心作用非平凡的模V，V是Harish-Chandra模的充要条件是:存在He1上一个满足定理3.2.11条件的线性泛函ψ使得V(≌)(M)(e1，e2，A(ψ))。　　对Virasoro-like代数我们也证明了类似的结果，该结果即将发表在Journal of Pure and Applied Algebra(见[LiT5]).　　记两个变量的量子环面上的skew导子李代数为Lq，并令[Lq，Lq]=Lq。在第四章，我们给出了李代数Lq的二上同调群H2(Lq，C)，并且具体给出了它的2-cocyle，从而得到了Lq的泛中心扩张(Lq)。接着，我们研究Lq和(Lq)的导子李代数。本章的结果即将发表在Communication in Algebra（见[LiT1]）.　　在第五章，我们研究李代数Lq和Lq的同构映射和自同构群，并证明了下述结论:　　(1)如果σ:Lq1→Lq2是一个李代数的满同态，那么σ是一个分次同态。　　(2)Lq1(≌)Lq2或Lq1(≌)Lq2当且仅当q1=q2或者q1=q2-1.　　(3)如果把Lq和Lq的自同构群分别记为AutLq和AutLq，那么AutLq(≌)GL2(Z)∝(C*×C*)(≌)AutLq.　　本文第二部分的结果推广了文[JM1]和[JM2]的结果并包含了上述两篇文章中的结果。