随着分数阶微积分理论的快速发展,分数阶微分方程解的存在性及其求解问题受到人们的广泛关注和研究.目前,分数阶微分方程被成功地应用于反常扩散、化学物理、混沌与湍流、自动控制理论、粘弹性力学和非牛顿流体力学等诸多科学领域,其应用的广泛性和重要性不言而喻.本文主要研究分数阶电报方程的各种精确解及其动力学性质和两类Riemann-Liouville型分数阶微分方程边值问题解的存在性,其具体内容如下:第二章,对分数阶电报方程的精确求解问题进行了研究.首先通过尺度变换将整数阶电报方程转化为分数阶电报方程.其次利用分离变量法与齐次平衡原理相结合的方法,获得了分数阶电报方程及其子方程的各种精确解,其中包括空间变量部分或者时间变量部分含有指数函数形式和三角函数形式的精确解.最后讨论了这些精确解的力学性质和演化现象,并运用Maple软件绘出了精确解随时间和空间发展演化的三维坐标图.第三章,对一类带有Riemann-Liouville型分数阶边值问题正解的存在性进行了讨论.主要是通过Green函数以及定义全连续算子,将研究边值问题正解的存在性问题转化为研究算子的正不动点的存在性问题.然后结合有关算子的谱半径,给出了非线性项的不等式条件,继而运用不动点指数定理证明了该边值问题存在两个正解.第四章,对一类Riemann-Liouville型分数阶边值问题非平凡解的存在性进行了研究.与第三章类似,将研究边值问题解的存在性问题转化为研究算子存在不动点的问题.然后在非线性项适合的不等式条件下,结合相关算子的第一特征值构造条件,继而利用拓扑度理论的知识,建立了该边值问题非平凡解的存在性结果。