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在数论的发展历史中,不定方程、Euler函数,以及Smarandache函数问题一直是被国内外学者重点研究的对象,为数论的发展做出贡献。本文运用初等数论、代数数论、解析数论等方法对不定方程、Euler函数及相关函数方程问题进行了相关研究,主要内容分以下几个方面:第一部分:讨论了不定方程x2+1024=4y9的可解性,并给出其所有正整数解。第二部分:分析了两类包含Euler函数的方程正整数解的问题,分别是对形如φ(mn)=Aφ(m)+Bφ(n)+C、φ(abc)=Aφ(a)+Bφ(b)+Cφ(c)-D的两类方程可解性的研究,并且求出所有正整数解。第三部分:讨论了 Euler函数与Smarandache函数方程S(SL(n13,14))=φ2(n)的可解性,并得到所有的正整数解。