奇异摄动问题常出现在流体力学、生物科学、控制理论、经济学和工程学等许多应用中,是一种最高阶导数项有一个小参数的微分方程.该参数称为奇异摄动参数,它导致了微分方程的解在边界附近的某些区域存在很大的梯度,这一现象被称为边界层现象.由于这种现象的存在,使用传统微分方程数值解法求解该问题很难达到较好的效果.神经网络凭借其出色的函数拟合能力,已逐渐发展成为解决各种现实问题的有力技术.近年来,学者们开始关注使用神经网络和深度学习求解微分方程的研究.其关键技术是使用神经网络构造微分方程的近似解,然后将微分方程的求解转化为一个关于神经网络参数的线性方程组或非线性优化问题.本文从奇异摄动微分方程自身解的特点出发,对已有的模型进行了改进和创新,提出了用于解决该问题的新型神经网络算法.第一章,介绍了奇异摄动问题的背景知识,简述了奇异摄动微分方程的发展以及求解奇异摄动问题的两类主流的传统算法.然后列出了一些神经网络求解微分方程已有的研究成果.最后,通过将神经网络方法与传统数值方法比较,得出了神经网络求解微分方程的优势,进而引出了本文的研究动机和出发点.第二章,介绍了本文的相关理论知识,包括神经网络原理、Legendre多项式的定义及相关性质.第三章,提出了一种基于投影和分段优化的Legendre神经网络,用于求解线性奇异摄动初边值问题.首先生成均匀网格点,并对均匀网格点做投影变换,使得大多数网格点分布在快变区间.然后使用单隐层Legendre神经网络构造方程的近似解,并将投影后的网格点以及近似解代入微分方程和初边值条件.至此,线性奇异摄动问题已经被转化为一个关于神经网络参数的线性方程组求解问题,沿用传统数值方法中区域分解的思想,针对初值问题和边值问题分别提出了对应的分段优化求解的策略.数值实验表明,本文所提出的方法适用于线性奇异摄动初边值问题的求解,并且可以取得不错的效果.第四章,提出了一种基于截断对数正态分布采样的多层神经网络算法,用于求解非线性奇异摄动初边值问题.首先使用多层前馈神经网络构造微分方程的近似解,并根据具体的初边值条件将近似解做变换,使得变换之后的近似解可以自然满足初边值条件.然后将该近似解代入微分方程,将等式左右两边的误差平方作为目标损失函数.接下来使用小批量随机梯度下降算法对该目标函数进行优化,为了使得优化过程中使用的样本点聚集在快变区间,本文从截断对数正态分布中采样得到每一轮迭代所使用的样本点.最后,通过数值实验表明,本文所提出的方法适用于非线性奇异摄动初边值问题的求解,并且在ε很小时也可以取得不错的效果.第五章,对本文所做的主要工作进行总结,指出了本文提出的神经网络算法用于求解奇异摄动微分方程的优势和不足,并对下一步工作做了规划和展望。