在这篇博士后出站报告中,我们主要讨论在一定条件下K(a)hler流形的分类问题。　　 在复几何中,单值化问题一直是一个大家很关心的问题。经典的单值化定理告诉我们:一个单连通的二维曲面全纯等价于黎曼球面CP1,复线C或者单位圆盘D,它刻画了一维复流形的标准的复结构。但是,在高维情况下,仅由拓扑的限制条件不可能给出复结构的分类。所以,我们首先需要加上一些几何的条件。　　 在双截面曲率条件下,我们可以得到流形的分类,这就是著名的Frankel猜想:任何具有正双截面曲率的紧致K(a)hler流形一定全纯等价于复投影空间。在70年代末80年代初,Mori和Siu-Yau(肖荫堂-丘成桐)分别用不同的方法给出了证明。在这之后,一个很自然的问题就是是否可以将Frankel猜想进行推广,得到在非负的全纯双截面曲率条件下的K(a)hler流形完全分类,一般我们称之为广义Frankel猜想,这个猜想最终由Mok利用代数几何的方法得到了证明。　　 在正交的双全纯截面曲率条件下,陈秀雄在附加一定的拓扑条件的情况下,得到了:任何具有正的正交的全纯双截面曲率且第一陈类c1>0的紧致的不可约K(a)hler流形一定全纯等价于复投影空间。　　 在这篇报告中,我们的第一个结果是给出了广义Frankel猜想的一个完全分析的证明,这也就回答了Mok的在他的文章中提出的问题。我们的证明的优点是用K(a)hler几何中的方法证明了K(a)hler几何中问题。我们的第二个结果是可以给出陈秀雄的问题/猜测的一个肯定的回答:任何紧致的具有正的正交双截面曲率的K(a)hler流形一定满足c1>0,从而完全分类这种流形。我们的第三个结果是可以给出在非负的正交双全纯截面曲率条件下的K(a)hler流形的完全分类,这个结果是广义Frankel猜想的一个推广。下面是我们的主要的结果:　　 定理1假设(Mn,h)是一紧致的K(a)hler流形,具有正的正交的双全纯截面曲率,那么,第一陈类c1>0。并且,该流形全纯等价于复投影空间。　　 定理2设(Mn,h)是一n维(n≥2)的紧K(a)hler流形,具有非负的正交的全纯双截曲率,((M)n,(h))是其万有覆盖空间。则((M)n,(h))必全纯等距于下列流形中其中的一个:　　 (1)(Ck,h0)×(M1,h1)×…×(Ml,hl)×(CPn1,θ1)×…×(CPnr,θr),其中h0表示Ck上的欧氏度量,hi(1≤i≤l)是秩≥2的不可约Hermitian对称空间Mi上的相应度量,θj(1≤j≤r)是CPnj上的K(a)hler度量具有非负正交的全纯双截曲率:　　 (2)(Y,g0)×(M1,h1)×…×(Ml,hl)×(CPn1,θ1)×…×(CPnr,θr),其中Y或者是一单连通的黎曼面,高斯曲率在某点为负,或者是一单连通的非紧K(a)hler流形,复维数dim(Y)≥2,具有非负的正交的全纯双截曲率且全纯截面曲率的最小值<0,Mi,CPnj(1≤i≤l,1≤j≤r)和情况(1)中的相同。并且,Mi和CPnj的全纯截面曲率≥-min{Y的全纯截面曲率}>0。