分数阶导数由于具有非局部性而更适合用来描述具有历史依赖性的自然发展过程，因而被越来越广泛地应用于各科学工程领域.也正由于分数阶导数的历史依赖性和全局相关性，更增加了分数阶微分方程数值计算的难度与复杂度.在分数阶和整数阶微分方程的数值研究中，有限差分方法以其计算简单，可适用于各种光滑度或带间断解问题而备受关注.本文主要研究了几类Caputo型和Riemann-Liouville型时间分数阶异常扩散方程的有限差分数值解法.对空间四阶Caputo型扩散波方程,时间分数阶导数采用L1近似,空间四阶导数分别基于直接Taylor展开和降阶法进行离散,得到两个Crank-Nicolson格式.还分别应用引入的新的空间四阶导数的紧算子和已有的空间二阶导数的紧算子得到两个紧格式.并分别用能量方法及一些证明技巧给出了这些格式的稳定性和收敛性分析,同时数值实验验证了这些格式的精确度及有效性.对低扩散方程也做了类似的差分研究,获得了相应的结果.在这类研究中,应用我们引入的空间四阶导数的紧算子,给出了一种比较简洁的理论证明.对空间二阶Riemann-Liouville型分数阶低扩散方程,通过对原方程两边积分的方法,把微分方程转化为积分方程,利用数值积分的思想进行离散,分别得到了一个O (2h2)阶的格式及一个O (2h4)阶的高阶紧格式.通过一些技巧性理论分析,我们首次给出了O (2)阶的格式在无穷模意义下的稳定性和收敛性的证明.对分数阶Cable方程，利用空间二阶导数的紧算子得到一个紧格式,分析了格式在无穷模意义下的稳定性及收敛性,同时给出了一个O (2h4)阶的高阶紧格式.数值算例验证了这些格式的有效性.分数阶极坐标方程由于极点处的奇异性,增加了方程离散的难度.对径向对称的Caputo型分数阶低扩散方程,时间分数阶导数采用L1离散，空间上应用降阶法离散.通过添加辅助变量降阶,我们对自然导数边界条件给出了一个简单精确无误差的计算公式.本文这种对极点处自然导数边界条件的处理方法同样适用于整数阶极坐标方程.消去中间辅助变量后,得到一个新的自封闭的便于计算的差分格式.对圆盘上二维Caputo型分数阶低扩散方程，除了要对自然导数边界条件进行处理外,又增加了差分格式在计算上的困难.我们充分利用方位角方向的2周期性,通过离散的有限Fourier变换,将求解的物理空间转化为Fourier空间,然后利用FFT和IFFT包进行计算.理论分析与数值实验表明,对这类问题的差分格式的求解,尤其对方位角方向利用紧算子建立的紧差分格式,利用快速Fourier算法能更方便快速地求解.