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在本文中,我们首先研究下面的二阶Hamilton系统:ü(t)-L(t)u(t)+▽W(t,u(t))=0,t∈(R).(0-1)
我们做如下的假设:(A1)L(t)和W(t,x)关于t是1-周期的;(A2)L(t)对于所有的t∈(R)一致正定;(W2)当x→0时,▽W(t,x)|1|/|x|→0对所有t∈(R)成立;(W3)当|x|→∞时,W(t,x)/|x|→(∞)对于t∈(R)成立;(W4)存在常数a0＞1,d1＞0,d2＞0使得|▽W(t,x)|≤d1|x|a0+d2对所有t∈(R)和x∈(R)N成立;(W5)存在常数β≥a0,d3＞0,R1＞0使得(▽W(t,x),x)-2W(t,x)≥d3|x|β对所有的t∈(R)和|x|≥R1成立;(W5)存在常数a＞a0-1,d4＞0,r1＞0使得(▽W(t,x),x)-2W(t,x)≥d4|x|a对所有的t∈(R)和|x|≥r1成立;(W6)(▽W(t,x),x)≥2W(t,x)≥0对所有t∈(R)和x∈(R)N＼{0}立;(W6)(▽W(t,x),x)＞2W(t,x)≥0对所有的t∈(R)和x∈(R)N＼{0}成立;(W7)存在有界集B(C)(R),其中int(B)≠(0),和常数μ＞2,θ＞μ/μ-2满足(I)0＜μW(t,x)≤(▽W(t,x),x)对所有t∈B和x∈(R)N＼{0}成立;(ii)0≤2W(t,x)≤(▽W(t,x),x)≤1/θ(L(t)x,x)对所有t(∈)B和x∈(R)N成立;(W8)对任意0＜a＜b,令Ca,b:=inf{(▽W(t,x),x)-2W(t,x)/|x|2,t∈(R),a＜|x|≤b},则Ca,b＞0;(W9)存在常数R2＞0,使得W(t,x)≥0对所有t∈(R),|x|≤R2成立;(W12)W(t,x)=W(t,-x)对所有t∈(R)和x∈(R)N成立;(L**)存在常数γ＞1使得meas(t∈(R)||t|-γL(t)(≥)M0IN)∞对所有M0＞0成立;(L1)对L(t)的最小特征值l(t)≡inf|x|=1(L(t)x,x),存在常数γ＞1使得当|t|→∞时有l(t)|t|-γ→+∞;(L2)存在常数ξ＞0和(-r)＞0至少使得以下命题之一成立;(I)L∈C1((R),(R)N2),|L(t)x|≤ξ|L(t)x|对所有|t|＞(-r)和x∈(R)N且|x|=1成立;(ii)L∈C2((R),(R)N2),((ξL(t)-L"(t))x,x)≥0对所有|t|＞(-r)和x∈(R)N且|x|=1成立,其中L(t)=(d/dt)L(t),L"(t)=(d2/dt2)L(t);(L3)存在常数l1≥0使得l(t):=inf|x|=1(L(t)x,x)≥-l1对所有t∈(R)成立.
我们得到如下的结果:
定理2.3假设L∈C((R),(R)N2)和W∈C1((R)×(R)N,(R))满足条件(A1),(A2),(W2)-(W4),(W5)和(W6),那么系统(0-1)至少有一个非平凡的同宿轨解.
定理2.5假设L∈C((R),(R)N2)和W∈C1((R)×(R)N,(R))满足条件(A2),(W2),(W7),那么系统(0-1)至少有一个非平凡的同宿轨解.
定理2.7假设L∈C((R),(R)N2)和W∈C1((R)×(R)N,(R))满足条件(L1),(L2),(W2)-(W4),(W5),(W8)和(W9),那么系统(0-1)至少有一个非平凡的同宿轨解.
定理3.2假设L∈C((R),(R)N2)和W∈C1((R)×(R)N,(R))满足条件(L**),(L3),(W2)-(W6),(W12),那么系统(0-1)存在无穷多的同宿轨解.
接下来我们考虑下面的Schr(o)dinger方程:-△u+V(x)u=f(x,u),x∈(R)N.(0-2)
我们的主要结果如下:
定理4.1假设V∈C1((R)N,(R))和f∈C((R)N×(R).(R))满足(D1)存在常数M≥0使得V(x)≥-M对所有x∈(R)N成立;
(D2)对任意γ＞0和任意趋于无穷大的子列(xn)(C)(R)N有lim inf n→∝ u∈μn∫(|▽u|2+V(x)u2)dx=+∞,其中μn={u∈H10(Bn)|||u||L2(Bn)=1}且Bn=B(xn,r)表示以xn为心,r为半径的开球;
(D3)当|s|→(∞)时,f(x,s)/s→+∝关于x一致成立;
(D4)存在θ≥1使得θ(～F)(x,s)≥(～F)(x,ts)对所有(x,s)∈(R)N×(R)和t∈[0,1]成立,其中(～F)(x,s)=f(x,s)s-2F(x,s),F(x,s)=∫s0f(x,z)dz.
另外,假设存在常数C和函数K∈L∞loc((R)N,(R)),其中K(x)≥C＞0对所有x∈(R)N成立,满足以下条件:
(D5)存在常数d6＞0,a1＞1,R3＞0使得K(x)≤d6(1+(max{0,V(x)})1/a1)对所有|x|≥R3成立;
(D6)存在常数d7＞0,1＜P＜a*使得|f(x,s)|≤d7K(x)(1+|s|p)对所有(x,s)∈(R)N×(R)成立,其中当N≥3时a*=N+2/N-2-4/a(N-2),而当N=1,2时a*=+∝;
(D7)当s→0时f(x,s)/K(x)=D(|s|)关于x一致成立.那么方程(0-2)至少有一个非平凡解.
定理4.2假设V∈C1((R)N,(R))和f∈C((R)N×(R),(R))满足(D1)-(D4)以及(D8)存在常数d8＞0,1＜P＜a*使得|f(x,s)|≤d8(1+|s|p)对所有(x,s)∈(R)N×(R)成立,其中当N≥3时a*=N+2/N-2-4/a(N-2),当N=1,2时a*=+∝;
(D9)当s→0时f(x,s)=0(|s|)关于x一致成立.
那么方程(0-2)至少有一个非平凡解.