随着现代生产的发展，高强度钢结构、大型锻件和焊接结构被广泛地用在新产品中，然而在新产品的安装、试验和运行过程中，经常发生脆断事故，给人们的日常生活和生产带来了很多麻烦和困扰，这引起了很多学者和专家的关注，并于20世纪70年代形成断裂力学这一门新兴学科。通过深入和大量的研究，最终人们发现造成事故的主要原因是新产品中存在着各种宏观或者微观的缺陷和裂纹，这些宏观或微观的缺陷和裂纹的出现是由于材料本身比较脆，或者是由于外界工作环境、加工和装配等因素引起。在人们熟知的材料中，脆性最明显的材料有准晶和压电材料，而准晶具有耦合的声子场和相位子场，压电材料具有独特的力电耦合性能，利用准晶和压电材料所特有的结构和性能制成各种元件和设备被广泛地应用在人们的日常生活、现代电子产品、医疗和军事等领域。为了避免大量脆断事故的发生，许多学者和专家纷纷开展准晶和压电材料的断裂力学研究。　　 在众多求解断裂力学问题的方法中，计算量最小的方法就是半逆解法，它只需要求解一个一次方程组就能得到应力场的解析解，这是半逆解法的最大优点。它的求解过程也非常简单，需针对不同的缺陷问题选择不同的位移势函数，然后根据边界条件确定待定系数，进而得到各个应力分量的解析解。杨维阳、李俊林等人运用半逆解法研究正交异性复合材料和各向异性复合材料的裂纹问题，取得了很多重要成果。本文将半逆解法推广到控制方程更加复杂的一维正方准晶中，研究了一维正方准晶的裂纹和共线周期性裂纹问题，得到裂纹和共线周期性裂纹的应力强度因子的解析解，且在极限状态下，共线周期性裂纹问题的应力强度因子能够还原到裂纹问题的应力强度因子。半逆解法的最大优点是计算量小，它同时存在难点，就是需选择合适的位移势函数，它同时也是半逆解法成功的关键。本文接着，又运用半逆解法，选取合适的位移势函数，研究一维正方准晶的椭圆孔口问题，得到椭圆孔口问题的应力强度因子的解析解，且在极限状态下，椭圆孔口问题的应力强度因子还原为Griffith裂纹问题的应力强度因子。　　 进一步将半逆解法推广到压电材料中，研究压电材料共线周期性裂纹和椭圆孔口问题，得到相应问题在电不可渗透边界条件下的应力、应力强度因子、电位移强度因子和机械应变能释放率的解析解。在极限状态下，共线周期性裂纹问题和椭圆孔口问题均可退化为一条单裂纹问题，得到了相应问题的应力场和应力强度因子的解析解。且通过数值算例讨论了几何参数和机电载荷对机械应变能释放率的影响规律，得到一些重要结论。