【摘 要】
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具有常数全纯截曲率的完备Kahler流形称为复空间形式[18],这类比于具有常截曲率的完备黎曼流形.单连通复空间形式的分类在上世纪50年代已经给出[7][8],但对于非Kahler的情形,
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具有常数全纯截曲率的完备Kahler流形称为复空间形式[18],这类比于具有常截曲率的完备黎曼流形.单连通复空间形式的分类在上世纪50年代已经给出[7][8],但对于非Kahler的情形,相关的工作较少.本文主要研究全纯截曲率为常数(或逐点为常数)的Hermitian流形.Balas-Gauduchon于1985年证明了具有非正常数全纯截曲率的紧Hermitian曲面一定是Kahler的.对于更高维的情况,已有全纯截曲率为零的非Kahler的例子(如Iwasawa流形[1]).一个自然的问题是:任意一个具有负常数全纯截曲率的n维紧Hermitian流形是Kahler的吗?但由于Balas-Gauduchon的证明方法依赖于n=2的条件,所以我们考虑了一类特殊的Hermitian流形——局部共形Kahler流形.本文将证明具有非正常数全纯截曲率的紧局部共形Kahler流形是Kahler的.特别地,它的万有覆盖为复欧氏空间或复双曲空间.具体工作如下:首先,基于刘-杨在[11]中对Hermitian流形上的Ricci曲率的研究,我们给出了一些局部共形Kahler流形上Ricci曲率和数量曲率的关系式.其次,我们证明了具有非正常数全纯截曲率的紧局部共形Kahler流形是Kahler的.此外,我们还证明了在具有逐点为非正常数全纯截曲率这样更一般条件下的紧局部共形Kahler流形是共形Kahler的.接着,我们给出了全纯截曲率为0,但曲率张量不为0的完备非Kahler度量的例子.这说明在非Kahler的情形,全纯截曲率H不一定决定曲率张量R,并且在H=0的情况下,主要结果中紧致的条件不能由完备替换.最后,我们研究了一种特殊的Hermitian度量——k-Gauduchon度量的性质,得到了 一些对k-Gauduchon度量等价的刻画.
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