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本文主要从研究确定性信号的局部平均采样产生的误差上界入手,旨在系统研究Lp (1≤p≤∞)空间上实频谱有限和非频谱有限宽平稳随机过程局部平均采样产生的误差上界的明确估计,用广义核函数来逼近L2上复值宽平稳随机过程,以及利用小波框架作为工具来研究局部平均采样问题.同时对概率型算子逼近和利用概率型算子逼近复值二阶矩过程也给出了部分结果.Shannon C.E.于1948年提出的采样定理引起电子工程和通信领域的巨大变革.其基本思想是利用一组离散的采样值来表示一个连续的频谱有限信号.这一思想后来被许多数学家发展.他们重构信号所利用的采样值是信号在采样点处的准确取值.但是在实际处理中,比如由于测量仪器的属性,实际中得到的采样值并不是信号在该点的精确值,而是在该点附近的局部平均值. 1992年, Gro¨chenig K.首先利用一列权函数对信号取局部积分平均,然后用所得到的平均采样来重构原信号.试验表明这种局部平均的采样方法可以有效抑制噪声.随后, Aldroubi A.,Butzer P. L.和Lei J.以及孙文昌教授和周性伟教授分别利用局部平均在2002年前后连续发表了一系列文章对确定性信号的局部平均采样与重构问题进行了深入的研究.另一方面,在工程和物理实验等领域时常出现一种称为“白噪声”的现象影响着测量数据的准确性,白噪声实际上是一种宽平稳过程.受此影响,著名概率专家Kolmogorov A. N. 1956年指导博士生Belyaev Y. K.从事随机过程的Shannon采样定理的研究工作. Balakrishnan A.V., Butzer P.L., Splettsto¨sser W.等人先后发表了一系列文章比较完整的解决了宽平稳过程的采样问题.宽平稳过程的框架稳定性的第一个结果是由挪威国家数学会主席Seip I.在1990年首次给出的.结果发表在信号处理的权威杂志《IEEE Transactions on Information Theory》上.本文在总结前人工作的基础上,给出了更符合实际情况的新的局部平均,以便更准确地刻划函数局部平均以及随机过程的局部均方积分平均.所得主要结果可以概括为四个创新点.1.以新构造的的局部平均为工具,用新的光滑模处理技巧给出了确定性信号局部平均采样代入Shannon采样公式后产生的明确的误差上界估计(本文第二章).文中通过计算实例验证新的估计的特殊情况上界估计值只有Butzer和Lei2000年所得结果的1/6左右.这一结果已经发表在《Appleid Mathematics Letters》.2.以新构造的局部平均为工具,用新的随机过程均方光滑模处理技巧给出了频谱有限实宽平稳过程和非频谱有限实宽平稳过程局部平均采样代入Shannon采样公式后产生的均方意义下的明确的误差上界估计(本文第三章).两项结果已经分别投往《中国科学》(A辑,英文版)和《Lecture Notes in Com-puter Science》.第二项结果已经被接受并将于2006年5月发表.3.以新构造的局部平均采样为工具,给出了实宽平稳过程的广义Shannon小波级数逼近和频谱有限复值宽平稳过程的重构及小波框架的稳定性(本文第四章).上述两项结果已经分别投往《TransactionsofTianjinUniversity》和《IEEETrans-actions on Information Theory》.以第二项结果为工具可以推广Seip I., Gro¨chenig,K., Feicgtinger H.以及孙文昌教授和周性伟教授发表在《Constructive Approxima-tion》和《IEEE Transactions on Information Theory》等杂志刊出的多项结果.4.以局部平均为工具,给出了连续信号概率型算子线性组合的点态逼近和随机信号的经典概率型算子逼近(本文第五章).上述第一项结果已经发表在《天津大学学报》(2005年11期).第二项结果打开了用局部平均概率型算子研究二阶矩过程的一个缺口,也为几十年来许多数学家考虑算子逼近应用问题找到了一个落脚点.结果整理后投《Journal of Approxi-mation Theory》.